Страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

313. Длина прямоугольника равна 30 см. Какой станет его длина, если при той же самой площади ширину прямоугольника:

1) увеличить в 1,5 раза;

2) уменьшить в 3,2 раза?

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины ($a$) на ширину ($b$): $S = a \cdot b$. В условии задачи сказано, что при изменении сторон площадь прямоугольника остаётся той же. Это означает, что длина и ширина являются обратно пропорциональными величинами. То есть, если одну сторону (например, ширину) увеличить в $k$ раз, то другую сторону (длину) необходимо уменьшить в $k$ раз, чтобы их произведение осталось неизменным. И наоборот, если одну сторону уменьшить в $k$ раз, то другую надо увеличить в $k$ раз.
Начальная длина прямоугольника $a_1 = 30$ см.

1) увеличить в 1,5 раза
Если ширину прямоугольника увеличить в 1,5 раза, то для сохранения исходной площади его длину необходимо уменьшить в 1,5 раза. Рассчитаем новую длину $a_2$:
$a_2 = a_1 / 1,5 = 30 / 1,5 = 20$ см.
Ответ: 20 см.

2) уменьшить в 3,2 раза
Если ширину прямоугольника уменьшить в 3,2 раза, то для сохранения исходной площади его длину необходимо увеличить в 3,2 раза. Рассчитаем новую длину $a_2$:
$a_2 = a_1 \cdot 3,2 = 30 \cdot 3,2 = 96$ см.
Ответ: 96 см.

314. За некоторую сумму денег купили 40 м ткани. Сколько метров ткани

купили бы за ту же сумму, если бы цена за 1 м:

1) уменьшилась в 2,6 раза;

2) увеличилась в 1,6 раза?

Обозначим общую сумму денег как $S$, первоначальную цену за 1 метр ткани как $p$, а первоначальное количество купленной ткани как $L$.
По условию задачи, $L = 40$ м.
Общая сумма денег, потраченная на покупку, вычисляется по формуле: $S = p \times L$. Эта сумма остается неизменной в обоих рассматриваемых случаях.
Количество товара (в данном случае, метров ткани) и его цена при постоянной общей сумме являются обратно пропорциональными величинами. Это означает, что если цена товара изменяется в $k$ раз, то количество товара, которое можно купить на ту же сумму, изменяется в $\frac{1}{k}$ раз.

1) уменьшилась в 2,6 раза;
Если цена за 1 метр ткани уменьшилась в 2,6 раза, то, согласно принципу обратной пропорциональности, количество ткани, которое можно купить за ту же сумму, увеличится в 2,6 раза.
Найдем новое количество ткани $L_{1}$:
$L_{1} = L \times 2.6 = 40 \times 2.6$
$40 \times 2.6 = 104$ м.
Таким образом, если цена уменьшится в 2,6 раза, можно будет купить 104 метра ткани.
Ответ: 104 м.

2) увеличилась в 1,6 раза?
Если цена за 1 метр ткани увеличилась в 1,6 раза, то количество ткани, которое можно купить за ту же сумму, уменьшится в 1,6 раза.
Найдем новое количество ткани $L_{2}$:
$L_{2} = \frac{L}{1.6} = \frac{40}{1.6}$
$\frac{40}{1.6} = \frac{400}{16} = 25$ м.
Таким образом, если цена увеличится в 1,6 раза, можно будет купить 25 метров ткани.
Ответ: 25 м.

315. Пешеход прошёл 12 км. Заполните таблицу, в первой строке которой указана скорость, а во второй — время движения.

Задайте формулой зависимость $t$ от $v$.

Заполните таблицу, в первой строке которой указана скорость, а во второй — время движения.

По условию задачи, пешеход прошёл расстояние $s = 12$ км. Связь между расстоянием, скоростью $v$ и временем $t$ выражается формулой $s = v \cdot t$. Из этой формулы можно выразить время как $t = \frac{s}{v}$ и скорость как $v = \frac{s}{t}$. Подставив значение $s=12$ км, получим рабочие формулы: $t = \frac{12}{v}$ и $v = \frac{12}{t}$.

Выполним расчеты для каждой пустой ячейки:

1. Для первого столбца, где скорость $v = 5$ км/ч, найдём время $t$:
$t = \frac{12}{5} = 2,4$ ч.

2. Для второго столбца, где время $t = 3$ ч, найдём скорость $v$:
$v = \frac{12}{3} = 4$ км/ч.

3. Для третьего столбца, где скорость $v = 2,4$ км/ч, найдём время $t$:
$t = \frac{12}{2,4} = \frac{120}{24} = 5$ ч.

4. Для четвертого столбца, где время $t = 3\frac{1}{3}$ ч, сначала переведём смешанную дробь в неправильную: $t = \frac{10}{3}$ ч. Теперь найдём скорость $v$:
$v = \frac{12}{\frac{10}{3}} = 12 \cdot \frac{3}{10} = \frac{36}{10} = 3,6$ км/ч.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Пустые ячейки в строке скорости $v$ (км/ч): 4; 3,6. Пустые ячейки в строке времени $t$ (ч): 2,4; 5.

Задайте формулой зависимость t от v.

Зависимость времени $t$ от скорости $v$ при постоянном расстоянии $s$ является обратной пропорциональностью и выражается общей формулой $t = \frac{s}{v}$.
В данной задаче расстояние $s$ постоянно и равно 12 км. Подставив это значение в общую формулу, мы получим искомую зависимость $t$ от $v$:

$t = \frac{12}{v}$

Ответ: $t = \frac{12}{v}$.

316. Объём прямоугольного параллелепипеда равен $48 \text{ см}^3$. Заполните таблицу, в первой строке которой указана площадь его основания, а во второй – высота.

Задайте формулой зависимость h от S.

$h = \frac{48}{S}$

Объем прямоугольного параллелепипеда (V) вычисляется по формуле $V = S \cdot h$, где S — площадь основания, а h — высота. По условию задачи, объем равен $48 \text{ см}^3$, следовательно, для всех столбцов таблицы выполняется соотношение: $S \cdot h = 48$.

Из этой формулы мы можем выразить высоту через площадь основания $h = \frac{48}{S}$ и площадь основания через высоту $S = \frac{48}{h}$.

Заполните таблицу, в первой строке которой указана площадь его основания, а во второй – высота

1. Для первого столбца известна площадь $S = 16 \text{ см}^2$. Найдем высоту h:
$h = \frac{48}{S} = \frac{48}{16} = 3$ см.

2. для второго столбца известна высота $h = 8$ см. Найдем площадь основания S:
$S = \frac{48}{h} = \frac{48}{8} = 6 \text{ см}^2$.

3. Для третьего столбца известна площадь $S = 240 \text{ см}^2$. Найдем высоту h:
$h = \frac{48}{S} = \frac{48}{240} = \frac{1}{5} = 0,2$ см.

4. Для четвертого столбца известна высота $h = 4,8$ см. Найдем площадь основания S:
$S = \frac{48}{h} = \frac{48}{4,8} = \frac{480}{48} = 10 \text{ см}^2$.

Заполненная таблица:

Ответ: Пропущенные значения в таблице (слева направо): для первого столбца h = 3 см, для второго S = 6 см², для третьего h = 0,2 см, для четвертого S = 10 см².

Задайте формулой зависимость h от S

Чтобы выразить зависимость высоты h от площади основания S, воспользуемся основной формулой объема $V = S \cdot h$. Подставим в нее известное значение объема $V = 48 \text{ см}^3$: $48 = S \cdot h$. Теперь выразим h из этого уравнения, разделив обе части на S (площадь основания не может быть равна нулю): $h = \frac{48}{S}$. Эта формула показывает обратно пропорциональную зависимость между высотой и площадью основания при постоянном объеме.

Ответ: $h = \frac{48}{S}$.

317. Бригада из семи рабочих с одинаковой производительностью труда может выполнить некоторое производственное задание за 12 дней. Сколько потребуется рабочих с такой же производительностью труда, чтобы выполнить это задание за 4 дня?

Данная задача описывает обратно пропорциональную зависимость: чем больше рабочих занято на выполнении задания, тем меньше времени им для этого потребуется. Общий объем работы, который можно выразить в «человеко-днях», при этом остается неизменным.

Для решения можно использовать два способа.

Способ 1: Вычисление общего объема работы

1. Сначала определим общий объем работы, который необходимо выполнить. Он равен произведению количества рабочих на количество дней.

$7 \text{ рабочих} \times 12 \text{ дней} = 84 \text{ человеко-дня}$

Это означает, что для выполнения всего задания требуется затратить труд, эквивалентный работе одного рабочего в течение 84 дней.

2. Теперь рассчитаем, сколько рабочих потребуется, чтобы выполнить этот же объем работы (84 человеко-дня), но в более сжатые сроки — за 4 дня. Пусть $x$ — искомое количество рабочих.

$x \text{ рабочих} \times 4 \text{ дня} = 84 \text{ человеко-дня}$

3. Найдем $x$, разделив общий объем работы на новое количество дней:

$x = \frac{84}{4} = 21$

Таким образом, для выполнения задания за 4 дня понадобится 21 рабочий.

Способ 2: Составление пропорции

Так как количество рабочих и время выполнения обратно пропорциональны, можно составить пропорцию. Пусть $W_1=7$ рабочих, $T_1=12$ дней, а $W_2$ — искомое количество рабочих для времени $T_2=4$ дня.

Соотношение для обратной пропорции:

$\frac{W_1}{W_2} = \frac{T_2}{T_1}$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{7}{W_2} = \frac{4}{12}$

Сократим дробь в правой части уравнения:

$\frac{7}{W_2} = \frac{1}{3}$

Теперь, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), находим $W_2$:

$W_2 \times 1 = 7 \times 3$

$W_2 = 21$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 21 рабочий.

318. Заготовленных кормов хватит для 24 лошадей на 18 дней. На сколько дней хватит этих кормов для 36 лошадей?

Эта задача на обратную пропорциональность. Общий запас корма является постоянной величиной. Чем больше лошадей, тем на меньшее количество дней хватит этого корма.

Пусть $x$ — это количество дней, на которое хватит кормов для 36 лошадей.

Общий запас корма можно вычислить как произведение количества лошадей на количество дней. Этот запас одинаков в обоих случаях.

Запас корма для 24 лошадей на 18 дней равен:

$24 \times 18$

Этот же запас корма для 36 лошадей на $x$ дней равен:

$36 \times x$

Приравняем эти два выражения, чтобы найти $x$:

$36 \times x = 24 \times 18$

Выразим $x$:

$x = \frac{24 \times 18}{36}$

Теперь выполним вычисления. Удобно сначала сократить дробь. Мы можем сократить 18 и 36, разделив оба числа на 18:

$x = \frac{24 \times 1}{2}$

$x = 12$

Таким образом, для 36 лошадей заготовленных кормов хватит на 12 дней.

Ответ: на 12 дней.

319. Среди данных функций укажите обратные пропорциональности:

1) $y = 2x;$

3) $y = \frac{2}{x};$

5) $y = -\frac{0,8}{x};$

7) $y = \frac{1}{2x};$

2) $y = \frac{x}{2};$

4) $y = -\frac{1}{x};$

6) $y = \frac{2x}{3};$

8) $y = \frac{2}{3x}.$

Обратная пропорциональность — это функция, которую можно задать формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ — не равное нулю число (коэффициент обратной пропорциональности). Проанализируем каждую из предложенных функций.

1) Функция $y = 2x$ является прямой пропорциональностью с коэффициентом $k=2$. Она имеет вид $y = kx$, а не $y = \frac{k}{x}$.

Ответ: не является обратной пропорциональностью.

2) Функцию $y = \frac{x}{2}$ можно представить в виде $y = \frac{1}{2}x$. Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=\frac{1}{2}$. Она имеет вид $y = kx$.

Ответ: не является обратной пропорциональностью.

3) Функция $y = \frac{2}{x}$ соответствует стандартному виду обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k=2$. Так как $k \neq 0$, это обратная пропорциональность.

Ответ: является обратной пропорциональностью.

4) Функцию $y = -\frac{1}{x}$ можно представить в виде $y = \frac{-1}{x}$. Она соответствует виду $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k=-1$. Так как $k \neq 0$, это обратная пропорциональность.

Ответ: является обратной пропорциональностью.

5) Функцию $y = -\frac{0.8}{x}$ можно представить в виде $y = \frac{-0.8}{x}$. Она соответствует виду $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k=-0.8$. Так как $k \neq 0$, это обратная пропорциональность.

Ответ: является обратной пропорциональностью.

6) Функцию $y = \frac{2x}{3}$ можно представить в виде $y = \frac{2}{3}x$. Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=\frac{2}{3}$. Она имеет вид $y = kx$.

Ответ: не является обратной пропорциональностью.

7) Функцию $y = \frac{1}{2x}$ можно представить в виде $y = \frac{1/2}{x}$. Она соответствует виду $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k=\frac{1}{2}$. Так как $k \neq 0$, это обратная пропорциональность.

Ответ: является обратной пропорциональностью.

8) Функцию $y = \frac{2}{3x}$ можно представить в виде $y = \frac{2/3}{x}$. Она соответствует виду $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k=\frac{2}{3}$. Так как $k \neq 0$, это обратная пропорциональность.

Ответ: является обратной пропорциональностью.

Таким образом, обратными пропорциональностями являются функции, представленные под номерами 3, 4, 5, 7 и 8.

320. Задана функция $y = \frac{24}{x}$. Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно: -3; 6; 0,2;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 12; -6; 100.

1) значение функции, если значение аргумента равно: -3; 6; 0,2;

Чтобы найти значение функции $y$, необходимо подставить каждое значение аргумента $x$ в заданную формулу $y = \frac{24}{x}$.

• Если $x = -3$, то $y = \frac{24}{-3} = -8$.
• Если $x = 6$, то $y = \frac{24}{6} = 4$.
• Если $x = 0,2$, то $y = \frac{24}{0,2} = \frac{240}{2} = 120$.

Ответ: -8; 4; 120.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 12; -6; 100.

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $y$ принимает заданное значение, необходимо выразить $x$ из формулы $y = \frac{24}{x}$. Это дает нам формулу $x = \frac{24}{y}$. Теперь подставим в нее заданные значения $y$.

• Если $y = 12$, то $x = \frac{24}{12} = 2$.
• Если $y = -6$, то $x = \frac{24}{-6} = -4$.
• Если $y = 100$, то $x = \frac{24}{100} = 0,24$.

Ответ: 2; -4; 0,24.