Страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

345. Решите уравнение:

$\frac{3}{5x + 25} + \frac{1}{2x - 10} = \frac{5}{x^2 - 25}$

Для решения данного рационального уравнения необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ), затем привести все дроби к общему знаменателю и решить полученное уравнение.

1. Нахождение ОДЗ.

Знаменатели дробей не могут быть равны нулю. Разложим каждый знаменатель на множители:

$5x + 25 = 5(x + 5)$

$2x - 10 = 2(x - 5)$

$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$ (по формуле разности квадратов)

Из этого следует, что:

$x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$

$x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$

Таким образом, область допустимых значений: $x$ – любое число, кроме $5$ и $-5$.

2. Приведение к общему знаменателю.

Исходное уравнение в разложенном виде:

$\frac{3}{5(x + 5)} + \frac{1}{2(x - 5)} = \frac{5}{(x - 5)(x + 5)}$

Наименьший общий знаменатель для всех дробей равен $10(x - 5)(x + 5)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$10(x - 5)(x + 5) \cdot \frac{3}{5(x + 5)} + 10(x - 5)(x + 5) \cdot \frac{1}{2(x - 5)} = 10(x - 5)(x + 5) \cdot \frac{5}{(x - 5)(x + 5)}$

После сокращения получаем:

$2(x - 5) \cdot 3 + 5(x + 5) \cdot 1 = 10 \cdot 5$

3. Решение полученного уравнения.

Раскроем скобки и решим линейное уравнение:

$6(x - 5) + 5(x + 5) = 50$

$6x - 30 + 5x + 25 = 50$

Приведем подобные слагаемые:

$11x - 5 = 50$

$11x = 55$

$x = \frac{55}{11}$

$x = 5$

4. Проверка корня.

Полученный корень $x = 5$ необходимо проверить на соответствие ОДЗ. Согласно ОДЗ, $x \neq 5$. Так как найденное значение $x=5$ не входит в область допустимых значений, оно является посторонним корнем и не может быть решением уравнения.

Ответ: корней нет.

346. Цену шкафа снизили на 30 %, а спустя некоторое время повысили на 30 %. Как изменилась, увеличилась или уменьшилась, цена шкафа по сравнению с первоначальной и на сколько процентов?

Для решения задачи примем первоначальную цену шкафа за $x$.

1. Снижение цены. Первоначальную цену снизили на 30%. Это значит, что новая цена составила $100\% - 30\% = 70\%$ от первоначальной. Чтобы найти новую цену ($x_1$), умножим $x$ на 0.7:
$x_1 = x \cdot (1 - \frac{30}{100}) = x \cdot 0.7 = 0.7x$

2. Повышение цены. Затем полученную цену ($x_1$) повысили на 30%. Важно, что 30% теперь вычисляются от новой, сниженной цены ($0.7x$). Повышение на 30% эквивалентно умножению на 1.3. Найдем итоговую цену ($x_2$):
$x_2 = x_1 \cdot (1 + \frac{30}{100}) = (0.7x) \cdot 1.3 = 0.91x$

Теперь ответим на вопросы задачи.

Как изменилась, увеличилась или уменьшилась, цена шкафа по сравнению с первоначальной
Мы сравниваем итоговую цену $x_2 = 0.91x$ с первоначальной ценой $x$ (которую можно представить как $1x$). Поскольку $0.91 < 1$, итоговая цена оказалась меньше первоначальной. Следовательно, цена шкафа уменьшилась.

и на сколько процентов?
Чтобы найти, на сколько процентов уменьшилась цена, найдем разницу между первоначальной и итоговой ценой в долях от первоначальной цены.
Разница составляет: $x - 0.91x = 0.09x$.
Чтобы выразить эту разницу в процентах, разделим ее на первоначальную цену и умножим на 100%:
$\frac{0.09x}{x} \cdot 100\% = 0.09 \cdot 100\% = 9\%$.

Ответ: цена шкафа уменьшилась на 9% по сравнению с первоначальной.

347. (Задача Сунь-Цзы¹.) Двое мужчин получили монеты, которые они должны были разделить между собой так, что если бы к монетам, которые получил первый из них, прибавить половину монет второго, или к монетам, которые получил второй, прибавить $\frac{2}{3}$ монет первого, то в обоих случаях было бы 48 монет. Сколько монет получил каждый из мужчин?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество монет, которое получил первый мужчина, а $y$ — количество монет, которое получил второй мужчина.

На основе условий задачи можно составить систему из двух уравнений.

Первое условие гласит, что если к монетам первого мужчины ($x$) прибавить половину монет второго ($\frac{1}{2}y$), получится 48. Запишем это в виде уравнения:
$x + \frac{1}{2}y = 48$

Второе условие гласит, что если к монетам второго мужчины ($y$) прибавить две трети монет первого ($\frac{2}{3}x$), то также получится 48. Запишем второе уравнение:
$y + \frac{2}{3}x = 48$

Таким образом, мы получаем следующую систему уравнений: $$ \begin{cases} x + \frac{1}{2}y = 48 \\ \frac{2}{3}x + y = 48 \end{cases} $$

Для удобства решения избавимся от дробей. Умножим обе части первого уравнения на 2, а обе части второго уравнения — на 3: $$ \begin{cases} 2(x + \frac{1}{2}y) = 2 \cdot 48 \\ 3(\frac{2}{3}x + y) = 3 \cdot 48 \end{cases} $$ После умножения система примет вид: $$ \begin{cases} 2x + y = 96 \\ 2x + 3y = 144 \end{cases} $$

Теперь решим полученную систему методом вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:
$(2x + 3y) - (2x + y) = 144 - 96$
$2y = 48$
$y = \frac{48}{2}$
$y = 24$

Мы нашли, что второй мужчина получил 24 монеты. Теперь, чтобы найти количество монет у первого мужчины, подставим найденное значение $y$ в первое упрощенное уравнение ($2x + y = 96$):
$2x + 24 = 96$
$2x = 96 - 24$
$2x = 72$
$x = \frac{72}{2}$
$x = 36$

Итак, первый мужчина получил 36 монет, а второй — 24 монеты.
Проверим правильность решения, подставив значения в исходные условия:
1) $36 + \frac{1}{2} \cdot 24 = 36 + 12 = 48$. Верно.
2) $24 + \frac{2}{3} \cdot 36 = 24 + 2 \cdot 12 = 24 + 24 = 48$. Верно.

Ответ: первый мужчина получил 36 монет, а второй — 24 монеты.

348. Если лыжник будет двигаться со скоростью $10 \text{ км/ч}$, то доберётся в пункт назначения на $1 \text{ ч}$ позже запланированного времени прибытия, а если будет двигаться со скоростью $15 \text{ км/ч}$ – то на $1 \text{ ч}$ раньше. С какой скоростью он должен двигаться, чтобы прибыть в пункт назначения в запланированное время?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $S$ — это расстояние до пункта назначения в километрах, а $t$ — запланированное время в пути в часах.

Из условия задачи мы можем составить два уравнения, основываясь на формуле расстояния $S = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.

Первый случай: лыжник движется со скоростью $v_1 = 10$ км/ч и прибывает на 1 час позже запланированного времени. Следовательно, его время в пути составляет $t + 1$ час. Уравнение для расстояния будет выглядеть так:
$S = 10 \cdot (t + 1)$

Второй случай: лыжник движется со скоростью $v_2 = 15$ км/ч и прибывает на 1 час раньше. Следовательно, его время в пути составляет $t - 1$ час. Уравнение для расстояния будет таким:
$S = 15 \cdot (t - 1)$

Поскольку расстояние $S$ в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять правые части этих двух уравнений, чтобы найти запланированное время $t$:
$10 \cdot (t + 1) = 15 \cdot (t - 1)$

Теперь решим это уравнение:
$10t + 10 = 15t - 15$
Сгруппируем члены с переменной $t$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$15t - 10t = 10 + 15$
$5t = 25$
$t = \frac{25}{5} = 5$
Таким образом, запланированное время в пути составляет 5 часов.

Зная запланированное время, мы можем вычислить расстояние $S$, подставив значение $t=5$ в любое из двух первоначальных уравнений:
$S = 10 \cdot (5 + 1) = 10 \cdot 6 = 60$ км.

Наконец, чтобы найти скорость, с которой лыжник должен двигаться, чтобы прибыть в пункт назначения в запланированное время (то есть за 5 часов), мы разделим общее расстояние на запланированное время:
$v = \frac{S}{t} = \frac{60 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 12$ км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

349. Каждый из трёх учеников написал 100 разных слов. После этого слова, которые встретились не менее двух раз, вычеркнули. В результате у одного ученика осталось 45 слов, у второго – 68, а у третьего – 78. Докажите, что по крайней мере одно слово записали все трое.

Для решения задачи воспользуемся методами теории множеств и докажем утверждение, используя свойства чётности чисел.

Обозначим множества слов, написанных тремя учениками, как $A$, $B$ и $C$. По условию, каждый ученик написал по 100 слов, следовательно, мощности (количества элементов) этих множеств равны:

$|A| = 100$, $|B| = 100$, $|C| = 100$.

Слова, которые встретились не менее двух раз, были вычеркнуты. Это означает, что для каждого ученика были вычеркнуты слова, которые он написал и которые также написал хотя бы один из двух других учеников. Оставшиеся слова — это те, которые являются уникальными для каждого ученика.

По условию, у одного ученика осталось 45 слов, у второго — 68, а у третьего — 78. Следовательно, количество вычеркнутых (неуникальных) слов для каждого ученика составляет:

• У первого ученика: $100 - 45 = 55$ слов.
• У второго ученика: $100 - 68 = 32$ слова.
• У третьего ученика: $100 - 78 = 22$ слова.

Введем следующие обозначения для количества слов в различных пересечениях множеств:

• $n_{ab}$ — количество слов, написанных только первым и вторым учениками.
• $n_{ac}$ — количество слов, написанных только первым и третьим учениками.
• $n_{bc}$ — количество слов, написанных только вторым и третьим учениками.
• $n_{abc}$ — количество слов, написанных всеми тремя учениками.

Все эти величины являются неотрицательными целыми числами. Нам нужно доказать, что $n_{abc} \ge 1$.

Количество вычеркнутых слов из списка первого ученика — это слова, которые есть в списке второго или третьего ученика. Таким образом, это сумма слов, которые есть у первого и второго, у первого и третьего, и у всех троих:

$n_{ab} + n_{ac} + n_{abc} = 55$ (1)

Аналогично для второго и третьего учеников:

$n_{ab} + n_{bc} + n_{abc} = 32$ (2)

$n_{ac} + n_{bc} + n_{abc} = 22$ (3)

Теперь сложим все три уравнения:

$(n_{ab} + n_{ac} + n_{abc}) + (n_{ab} + n_{bc} + n_{abc}) + (n_{ac} + n_{bc} + n_{abc}) = 55 + 32 + 22$

Сгруппировав одинаковые слагаемые, получим:

$2n_{ab} + 2n_{ac} + 2n_{bc} + 3n_{abc} = 109$

Вынесем общий множитель 2:

$2(n_{ab} + n_{ac} + n_{bc}) + 3n_{abc} = 109$

Рассмотрим это уравнение с точки зрения чётности. Так как $n_{ab}$, $n_{ac}$ и $n_{bc}$ — целые числа, то их сумма также является целым числом. Тогда выражение $2(n_{ab} + n_{ac} + n_{bc})$ всегда является чётным числом. Число 109 в правой части уравнения является нечётным.

Уравнение можно представить в виде:

(Чётное число) + $3n_{abc}$ = (Нечётное число)

Чтобы сумма чётного числа и некоторого числа была нечётной, это второе число ($3n_{abc}$) должно быть нечётным. Произведение $3 \times n_{abc}$ будет нечётным только в том случае, если оба множителя нечётные. Так как число 3 нечётное, то и $n_{abc}$ должно быть нечётным числом.

По определению, $n_{abc}$ — это количество слов, и оно должно быть неотрицательным целым числом. Ноль является чётным числом, поэтому $n_{abc}$ не может быть равно нулю. Следовательно, $n_{abc}$ должно быть положительным нечётным числом. Самое маленькое такое число — это 1.

Таким образом, $n_{abc} \ge 1$, что и доказывает, что по крайней мере одно слово было записано всеми тремя учениками.

Ответ: Утверждение доказано. Из полученных уравнений следует, что количество слов, написанных всеми тремя учениками ($n_{abc}$), должно быть нечётным числом. Поскольку это количество не может быть отрицательным, оно должно быть не меньше 1. Следовательно, по крайней мере одно слово записали все трое.