Страница 91 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что является областью определения функции $y = x^2$?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция $y$ имеет смысл, то есть её значение может быть вычислено. Область определения часто обозначается как $D(y)$ или $D(f)$.

Рассмотрим заданную функцию: $y = x^2$.

Чтобы найти её область определения, необходимо проанализировать выражение $x^2$ и определить, существуют ли такие действительные числа $x$, при подстановке которых в это выражение возникнет математическая неопределенность.

В данном случае с переменной $x$ выполняется только одна операция — возведение в квадрат. Эта операция определена для любого действительного числа:

- можно возвести в квадрат любое положительное число (например, $5^2 = 25$);

- можно возвести в квадрат любое отрицательное число (например, $(-3)^2 = 9$);

- можно возвести в квадрат ноль ($0^2 = 0$).

В выражении $x^2$ отсутствуют операции, которые могли бы наложить ограничения на значения $x$. Такими операциями могли бы быть, например, деление на переменную (знаменатель не может быть равен нулю) или извлечение корня четной степени (подкоренное выражение не может быть отрицательным).

Так как операция возведения в квадрат выполнима для любого действительного числа, это означает, что аргумент $x$ может принимать абсолютно любое значение.

Следовательно, областью определения функции $y = x^2$ является множество всех действительных чисел. Это множество обозначается символом $\mathbb{R}$ или записывается в виде числового промежутка $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Областью определения функции $y = x^2$ является множество всех действительных чисел. Запись в виде промежутка: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Что является областью значений функции $y = x^2$?

Областью значений функции (или множеством значений) называется совокупность всех значений, которые принимает функция (переменная $y$) при всех допустимых значениях её аргумента (переменной $x$).

Рассмотрим функцию $y = x^2$. Нам нужно определить, какие значения может принимать $y$.
Выражение $x^2$ означает возведение числа $x$ в квадрат. Проанализируем результат этой операции для различных видов действительных чисел:

1. Если $x$ — положительное число (например, $x=3$), то его квадрат $y = x^2$ также будет положительным числом: $y = 3^2 = 9$.
2. Если $x$ — отрицательное число (например, $x=-3$), то его квадрат $y = x^2$ всё равно будет положительным числом, так как произведение двух отрицательных чисел даёт положительное: $y = (-3)^2 = 9$.
3. Если $x$ равен нулю ($x=0$), то его квадрат $y = x^2$ также равен нулю: $y = 0^2 = 0$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ всегда будет неотрицательным числом, то есть большим или равным нулю. Математически это записывается как $y \ge 0$.
Это означает, что область значений функции $y=x^2$ включает в себя ноль и все положительные действительные числа. В виде числового промежутка это записывается как $[0; +\infty)$.

Ответ: Областью значений функции $y=x^2$ является промежуток $[0; +\infty)$.

3. При каком значении аргумента значение функции $y = x^2$ равно нулю?

Для того чтобы найти, при каком значении аргумента $x$ значение функции $y = x^2$ равно нулю, нам необходимо решить уравнение, в котором значение функции $y$ приравнивается к нулю.

Запишем исходную функцию:

$y = x^2$

По условию задачи, значение функции должно быть равно нулю, то есть $y = 0$. Подставим это значение в уравнение:

$x^2 = 0$

Чтобы найти значение $x$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Единственное число, квадрат которого равен нулю, — это сам ноль.

$x = \sqrt{0}$

$x = 0$

Следовательно, функция $y = x^2$ принимает значение, равное нулю, только при значении аргумента $x = 0$.

Ответ: 0

4. Какая фигура является графиком функции $y = x^2$?

Графиком функции $y = x^2$ является кривая, которая называется парабола.

Данное уравнение является частным случаем квадратичной функции общего вида $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты принимают значения $a=1$, $b=0$ и $c=0$. График любой квадратичной функции представляет собой параболу.

Рассмотрим ключевые характеристики графика функции $y = x^2$:

• Вершина параболы: Чтобы найти вершину, можно использовать формулу для абсциссы $x_0 = -b/(2a)$. В нашем случае $x_0 = -0/(2 \cdot 1) = 0$. Подставив $x_0$ в функцию, найдем ординату вершины: $y_0 = 0^2 = 0$. Таким образом, вершина параболы находится в точке (0; 0), то есть в начале координат.
• Направление ветвей: Так как коэффициент при $x^2$ (старший коэффициент) $a=1$ и он больше нуля ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.
• Симметрия: Функция является четной, поскольку $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Точки на графике: Для построения графика можно вычислить несколько точек, принадлежащих ему. Составим таблицу значений:
  

  $x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
  $y = x^2$	9	4	1	0	1	4	9

  Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим параболу.

Таким образом, фигура, являющаяся графиком функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси OY и с ветвями, направленными вверх.

Ответ: парабола.

5. Как называют функцию, которая при противоположных значениях аргумента принимает равные значения?

Функция, которая при противоположных значениях аргумента принимает равные значения, называется четной функцией.

По определению, функция $y = f(x)$ является четной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняется равенство:

$$f(-x) = f(x)$$

Также важным условием является то, что область определения функции должна быть симметрична относительно нуля. Это означает, что если точка $x$ принадлежит области определения, то и точка $-x$ также должна ей принадлежать.

Примерами четных функций являются: степенная функция с четным показателем, например, $y = x^2$, так как $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$; тригонометрическая функция косинус, $y = \cos(x)$, так как $\cos(-x) = \cos(x)$; функция модуля, $y = |x|$, так как $|-x| = |x|$; постоянная функция, $y = C$, где $C$ — константа.

Характерным свойством графика четной функции является его симметрия относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что если построить часть графика для $x > 0$, то часть графика для $x < 0$ можно получить, зеркально отразив построенную часть относительно оси $Oy$.

Ответ: четная функция.

6. Какая прямая является осью симметрии параболы $y = x^2$?

Осью симметрии параболы называется прямая, которая делит график функции на две зеркально отраженные относительно нее части. Для параболы, заданной уравнением в общем виде $y = ax^2 + bx + c$, ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через вершину параболы. Уравнение этой прямой находится по формуле: $x = -\frac{b}{2a}$.

В данном случае дано уравнение параболы $y = x^2$. Чтобы найти ее ось симметрии, представим это уравнение в общем виде $y = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0$. Отсюда видно, что коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 0$ и $c = 0$.

Теперь подставим значения коэффициентов $a$ и $b$ в формулу для нахождения оси симметрии: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = -\frac{0}{2} = 0$.

Следовательно, осью симметрии параболы $y = x^2$ является прямая, заданная уравнением $x = 0$. Эта прямая является осью ординат (осью OY).

Другой способ это определить — проверить функцию на четность. Функция $y(x) = x^2$ является четной, поскольку для любого значения $x$ выполняется равенство $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. График любой четной функции симметричен относительно оси ординат.

Ответ: прямая $x = 0$ (ось ординат).

350. Функция задана формулой $y = x^2$. Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно: -6; 0,8; -1,2; 150;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 49; 0; 2500; 0,04.

Функция задана формулой $y = x^2$.

1) значение функции, если значение аргумента равно: -6; 0,8; -1,2; 150;

Чтобы найти значение функции (y), нужно подставить данное значение аргумента (x) в формулу $y = x^2$ и вычислить результат.

• При $x = -6$:
  $y = (-6)^2 = (-6) \cdot (-6) = 36$.

• При $x = 0,8$:
  $y = (0,8)^2 = 0,8 \cdot 0,8 = 0,64$.

• При $x = -1,2$:
  $y = (-1,2)^2 = (-1,2) \cdot (-1,2) = 1,44$.

• При $x = 150$:
  $y = (150)^2 = 150 \cdot 150 = 22500$.

Ответ: 36; 0,64; 1,44; 22500.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 49; 0; 2500; 0,04.

Чтобы найти значение аргумента (x) при известном значении функции (y), нужно решить уравнение $x^2 = y$. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из значения y. Важно помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня: положительный и отрицательный ($x = \pm\sqrt{y}$).

• При $y = 49$:
  $x^2 = 49$
  $x = \pm\sqrt{49}$
  $x_1 = 7$, $x_2 = -7$.

• При $y = 0$:
  $x^2 = 0$
  $x = 0$.

• При $y = 2500$:
  $x^2 = 2500$
  $x = \pm\sqrt{2500}$
  $x_1 = 50$, $x_2 = -50$.

• При $y = 0,04$:
  $x^2 = 0,04$
  $x = \pm\sqrt{0,04}$
  $x_1 = 0,2$, $x_2 = -0,2$.

Ответ: -7 и 7; 0; -50 и 50; -0,2 и 0,2.

351. Не выполняя построения графика функции $y = x^2$, определите, проходит ли этот график через точку:

1) A (−8; 64);

2) B (−9; −81);

3) C (0,5; 2,5);

4) D (0,1; 0,01).

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = x^2$ через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки $(x; y)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

1) A (–8; 64)

Подставим координаты точки A в уравнение функции. В данном случае $x = -8$ и $y = 64$.
$y = x^2$
$64 = (-8)^2$
$64 = 64$
Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку A.
Ответ: да, проходит.

2) B (–9; –81)

Подставим координаты точки B в уравнение функции. В данном случае $x = -9$ и $y = -81$.
$y = x^2$
$-81 = (-9)^2$
$-81 = 81$
Равенство неверное. Кроме того, значение функции $y = x^2$ не может быть отрицательным, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$). Следовательно, график функции не проходит через точку B.
Ответ: нет, не проходит.

3) C (0,5; 2,5)

Подставим координаты точки C в уравнение функции. В данном случае $x = 0,5$ и $y = 2,5$.
$y = x^2$
$2,5 = (0,5)^2$
$2,5 = 0,25$
Равенство неверное, следовательно, график функции не проходит через точку C.
Ответ: нет, не проходит.

4) D (0,1; 0,01)

Подставим координаты точки D в уравнение функции. В данном случае $x = 0,1$ и $y = 0,01$.
$y = x^2$
$0,01 = (0,1)^2$
$0,01 = 0,01$
Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку D.
Ответ: да, проходит.