Страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

352. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = 4x - 4$. Постройте графики данных функций и отметьте найденные точки.

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = 4x - 4$

Чтобы найти координаты точек пересечения двух графиков, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих функций. В точках пересечения значения координат $x$ и $y$ для обеих функций совпадают. Поэтому мы можем приравнять выражения для $y$.

Даны функции:
1) $y = x^2$
2) $y = 4x - 4$

Приравниваем правые части уравнений:
$x^2 = 4x - 4$

Переносим все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 4x + 4 = 0$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=2$.
$(x - 2)^2 = 0$

Решаем полученное уравнение:
$x - 2 = 0$
$x = 2$

Так как мы получили только один корень для $x$, это означает, что графики не пересекаются в двух точках, а касаются в одной.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 2$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать первое:
$y = x^2 = 2^2 = 4$

Для проверки подставим $x = 2$ во второе уравнение:
$y = 4x - 4 = 4(2) - 4 = 8 - 4 = 4$

Значения $y$ совпали. Следовательно, графики функций пересекаются (касаются) в одной точке с координатами $(2, 4)$.

Ответ: Координаты точки пересечения: $(2, 4)$.

Постройте графики данных функций и отметьте найденные точки

Для построения графиков подготовим данные.

1. График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Построим ее по нескольким точкам:

2. График функции $y = 4x - 4$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:
- при $x = 0$, $y = 4(0) - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
- при $y = 0$, $0 = 4x - 4 \Rightarrow 4x=4 \Rightarrow x=1$. Точка $(1, 0)$.

Теперь построим оба графика в одной системе координат и отметим точку касания $(2, 4)$.

На графике синим цветом изображена парабола $y=x^2$, красным цветом — прямая $y=4x-4$. Зеленой точкой отмечено их касание в точке $(2, 4)$, что полностью соответствует результату, полученному аналитически.

Ответ: Графики функций построены и представлены на рисунке выше, точка пересечения $(2, 4)$ отмечена.

353. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = x - 1;$

2) $x^2 - 2x - 3 = 0;$

3) $x^2 = \frac{8}{x}.$

1) $x^2 = x - 1$

Для решения данного уравнения графическим способом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = x - 1$. Корнями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Для построения возьмем несколько точек:
$x = -2, y = 4$
$x = -1, y = 1$
$x = 0, y = 0$
$x = 1, y = 1$
$x = 2, y = 4$

2. График функции $y = x - 1$ — это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек, например:
Если $x = 0$, то $y = -1$. Точка $(0, -1)$.
Если $x = 1$, то $y = 0$. Точка $(1, 0)$.

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что парабола $y = x^2$ и прямая $y = x - 1$ не пересекаются. Парабола полностью лежит выше прямой.
Алгебраическая проверка: перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней у уравнения нет.
Следовательно, графики не имеют точек пересечения.

Ответ: корней нет.

2) $x^2 - 2x - 3 = 0$

Преобразуем уравнение к виду, удобному для графического решения, оставив $x^2$ в левой части: $x^2 = 2x + 3$.
Теперь построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = 2x + 3$. Абсциссы точек их пересечения будут являться решениями исходного уравнения.

1. График функции $y = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.

2. График функции $y = 2x + 3$ — это прямая линия. Найдем две точки для ее построения:
Если $x = 0$, то $y = 3$. Точка $(0, 3)$.
Если $x = -1$, то $y = 2(-1) + 3 = 1$. Точка $(-1, 1)$.

Строим графики. Парабола $y = x^2$ и прямая $y = 2x + 3$ пересекаются в двух точках. Найдем их координаты, подставляя значения $x$ в оба уравнения:
- При $x = -1$: $y = (-1)^2 = 1$ и $y = 2(-1) + 3 = 1$. Первая точка пересечения: $(-1, 1)$.
- При $x = 3$: $y = 3^2 = 9$ и $y = 2(3) + 3 = 9$. Вторая точка пересечения: $(3, 9)$.
Абсциссы этих точек пересечения $x = -1$ и $x = 3$ и являются корнями уравнения.

Ответ: -1; 3.

3) $x^2 = \frac{8}{x}$

Для решения этого уравнения графически построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = \frac{8}{x}$. Область допустимых значений: $x \neq 0$.

1. График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви направлены вверх.

2. График функции $y = \frac{8}{x}$ — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Для построения возьмем несколько точек:
Для I четверти: $(1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1)$.
Для III четверти: $(-1, -8), (-2, -4), (-4, -2), (-8, -1)$.

Построим оба графика.
Заметим, что парабола $y = x^2$ всегда неотрицательна ($y \ge 0$). Гипербола $y = \frac{8}{x}$ отрицательна при $x < 0$ (в III четверти). Следовательно, в области $x < 0$ пересечений быть не может.
Ищем пересечения только при $x > 0$ (в I четверти), где обе функции положительны. Сравнивая значения функций, легко найти точку пересечения:
При $x = 2$: $y = 2^2 = 4$ и $y = \frac{8}{2} = 4$.
Таким образом, графики пересекаются в точке $(2, 4)$.
Абсцисса этой точки $x = 2$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: 2.

354. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = -4x - 3$;

2) $x^2 - 3x + 5 = 0$;

3) $x^2 + \frac{1}{x} = 0$.

1) Для графического решения уравнения $x^2 = -4x - 3$ необходимо найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = -4x - 3$.

Построим эти графики в одной системе координат:

1. График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

2. График функции $y = -4x - 3$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например, (0, -3) и (-1, 1).

Нанеся графики на координатную плоскость, можно увидеть, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек — (-3, 9) и (-1, 1). Абсциссы этих точек, $x = -3$ и $x = -1$, являются решениями уравнения.

Проверка:
При $x = -3$: левая часть $x^2 = (-3)^2 = 9$; правая часть $-4x - 3 = -4(-3) - 3 = 12 - 3 = 9$. Равенство $9 = 9$ верно.
При $x = -1$: левая часть $x^2 = (-1)^2 = 1$; правая часть $-4x - 3 = -4(-1) - 3 = 4 - 3 = 1$. Равенство $1 = 1$ верно.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -1$.

2) Преобразуем уравнение $x^2 - 3x + 5 = 0$ к виду $x^2 = 3x - 5$. Решим его графически, найдя точки пересечения графиков $y = x^2$ и $y = 3x - 5$.

1. График $y = x^2$ — стандартная парабола.

2. График $y = 3x - 5$ — прямая, проходящая через точки (1, -2) и (2, 1).

При построении графиков в одной системе координат видно, что парабола и прямая не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Это означает, что исходное уравнение не имеет действительных решений.

Это также можно проверить, найдя вершину параболы $y = x^2 - 3x + 5$. Координата $x$ вершины: $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$. Координата $y$ вершины: $y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) + 5 = 2.25 - 4.5 + 5 = 2.75$. Так как вершина параболы (1.5, 2.75) находится выше оси абсцисс, а ветви направлены вверх, парабола не пересекает ось $x$.

Ответ: нет решений.

3) Представим уравнение $x^2 + \frac{1}{x} = 0$ в виде $x^2 = -\frac{1}{x}$. Решениями будут абсциссы точек пересечения графиков $y = x^2$ и $y = -\frac{1}{x}$. Заметим, что область определения уравнения — $x \neq 0$.

1. $y = x^2$ — парабола с вершиной в (0, 0), значения которой всегда неотрицательны ($y \ge 0$).

2. $y = -\frac{1}{x}$ — гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

Пересечение графиков возможно только там, где обе функции имеют одинаковый знак. Функция $y=x^2$ всегда неотрицательна. Функция $y = -\frac{1}{x}$ положительна при $x < 0$ и отрицательна при $x > 0$. Следовательно, пересечение возможно только при $x < 0$.

Построив графики, находим одну точку пересечения с координатами (-1, 1). Это можно проверить подстановкой: $y = (-1)^2 = 1$ и $y = -\frac{1}{-1} = 1$.

Абсцисса этой точки $x=-1$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $x = -1$.

355. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = x^2, \\ y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2, \\ y = -2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x - y + 6 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ 2x + 5y = 10. \end{cases}$

1) Чтобы определить графически количество решений системы уравнений $\begin{cases} y = x^2, \\ y = 2; \end{cases}$, необходимо построить графики функций, заданных этими уравнениями, и найти количество точек их пересечения.

График уравнения $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх.

График уравнения $y = 2$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0,2)$ на оси ординат.

Так как прямая $y=2$ расположена выше вершины параболы $(0,0)$, она пересекает параболу в двух точках. Каждая точка пересечения соответствует одному решению системы. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

2) Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = x^2, \\ y = -2; \end{cases}$.

График уравнения $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Все точки этой параболы имеют неотрицательную ординату ($y \ge 0$).

График уравнения $y = -2$ — это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0,-2)$. Все точки этой прямой имеют ординату, равную -2.

Поскольку парабола $y=x^2$ целиком лежит в верхней полуплоскости (и касается оси Ox в начале координат), а прямая $y=-2$ целиком лежит в нижней полуплоскости, их графики не имеют общих точек. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: 0 решений.

3) Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x - y + 6 = 0; \end{cases}$. Преобразуем уравнения к стандартному виду $y=f(x)$:

$\begin{cases} y = x^2, \\ y = x + 6; \end{cases}$

График первого уравнения $y = x^2$ — это парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вверх.

График второго уравнения $y = x + 6$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=6$; если $y=0$, то $x=-6$. Прямая проходит через точки $(0,6)$ и $(-6,0)$.

Точка пересечения прямой с осью Oy $(0,6)$ находится выше вершины параболы. Прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной, поэтому она пересечет параболу в двух точках. Это означает, что система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

4) Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ 2x + 5y = 10; \end{cases}$. Преобразуем уравнения:

$\begin{cases} y = x^2, \\ 5y = 10 - 2x; \end{cases} \implies \begin{cases} y = x^2, \\ y = -\frac{2}{5}x + 2; \end{cases}$

График первого уравнения $y = x^2$ — парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вверх.

График второго уравнения $y = -\frac{2}{5}x + 2$ — это прямая. Найдем точки пересечения с осями: если $x=0$, то $y=2$ (точка $(0,2)$); если $y=0$, то $2x=10$, $x=5$ (точка $(5,0)$).

Прямая пересекает ось ординат в точке $(0,2)$, которая находится выше вершины параболы $(0,0)$. Так как прямая имеет отрицательный наклон, она будет пересекать обе ветви параболы. Таким образом, графики имеют две точки пересечения, и система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

356. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = x^2, \\ 3x + 2y = -6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2, \\ x - 3y = -3. \end{cases}$

1) Чтобы определить количество решений системы графически, нужно построить графики каждого уравнения и найти количество точек их пересечения. Количество точек пересечения равно количеству решений системы.

Первое уравнение, $y = x^2$, задает параболу. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

Второе уравнение, $3x + 2y = -6$, является линейным. Чтобы построить график, выразим $y$ через $x$:

$2y = -3x - 6$

$y = -\frac{3}{2}x - 3$

Это уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки. Например:

• если $x = 0$, то $y = -3$. Точка (0, -3).
• если $x = -2$, то $y = -\frac{3}{2}(-2) - 3 = 3 - 3 = 0$. Точка (-2, 0).

Построим параболу $y = x^2$ и прямую $y = -\frac{3}{2}x - 3$ в одной системе координат. Парабола находится в первой и второй координатных четвертях, ее самая нижняя точка — (0, 0). Прямая проходит через точки (0, -3) и (-2, 0), то есть она расположена ниже вершины параболы и имеет отрицательный наклон. Визуально очевидно, что прямая и парабола не пересекаются.

Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: 0

2) Аналогично первому пункту, рассмотрим графики уравнений данной системы.

Первое уравнение — парабола $y = x^2$ с вершиной в точке (0, 0) и ветвями вверх.

Второе уравнение, $x - 3y = -3$, является линейным. Выразим $y$ через $x$:

$-3y = -x - 3$

$y = \frac{1}{3}x + 1$

Это уравнение прямой. Найдем две точки для ее построения:

• если $x = 0$, то $y = 1$. Точка (0, 1).
• если $x = 3$, то $y = \frac{1}{3}(3) + 1 = 1 + 1 = 2$. Точка (3, 2).

Построим параболу $y = x^2$ и прямую $y = \frac{1}{3}x + 1$ в одной системе координат. Прямая пересекает ось ординат в точке (0, 1), которая находится выше вершины параболы (0, 0). Поскольку прямая имеет положительный наклон, она будет возрастать и пересечет правую ветвь параболы. Так как она также проходит через вторую координатную четверть (например, при $x = -3$, $y = 0$), она пересечет и левую ветвь параболы.

Таким образом, графики имеют две точки пересечения.

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2

357. Функция $f$ задана следующим способом: $f(x) = \begin{cases} 4, & \text{если } x \le -2 \\ x^2, & \text{если } -2 < x < 1 \\ 2x - 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

1) Найдите $f(-3)$, $f(-2)$, $f(-1)$, $f(1)$, $f(3)$, $f(0,5)$.

2) Постройте график данной функции.

1) Найдите f(-3), f(-2), f(-1), f(1), f(3), f(0,5).

Чтобы найти значение функции в точке, необходимо определить, какому из трех интервалов, заданных в условии, принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

• Для $f(-3)$: аргумент $x = -3$. Так как $-3 \le -2$, используем первую формулу $f(x) = 4$.
  $f(-3) = 4$.

• Для $f(-2)$: аргумент $x = -2$. Так как $-2 \le -2$, используем первую формулу $f(x) = 4$.
  $f(-2) = 4$.

• Для $f(-1)$: аргумент $x = -1$. Так как $-2 < -1 < 1$, используем вторую формулу $f(x) = x^2$.
  $f(-1) = (-1)^2 = 1$.

• Для $f(1)$: аргумент $x = 1$. Так как $x \ge 1$, используем третью формулу $f(x) = 2x - 1$.
  $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

• Для $f(3)$: аргумент $x = 3$. Так как $3 \ge 1$, используем третью формулу $f(x) = 2x - 1$.
  $f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$.

• Для $f(0,5)$: аргумент $x = 0,5$. Так как $-2 < 0,5 < 1$, используем вторую формулу $f(x) = x^2$.
  $f(0,5) = (0,5)^2 = 0,25$.

Ответ: $f(-3) = 4$; $f(-2) = 4$; $f(-1) = 1$; $f(1) = 1$; $f(3) = 5$; $f(0,5) = 0,25$.

2) Постройте график данной функции.

График данной кусочно-заданной функции состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем интервале.

1. На интервале $x \le -2$, функция задается формулой $f(x) = 4$. Это график горизонтальной прямой $y=4$. Мы строим только ту часть прямой, где $x \le -2$. Это луч, выходящий из точки $(-2, 4)$ и идущий влево. Точка $(-2, 4)$ принадлежит этому лучу, так как неравенство нестрогое.

2. На интервале $-2 < x < 1$, функция задается формулой $f(x) = x^2$. Это график параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Мы строим только дугу параболы между $x = -2$ и $x = 1$. Предел функции при $x$, стремящемся к $-2$ справа, равен $(-2)^2 = 4$. Это значение совпадает со значением функции из первого интервала в точке $x=-2$, поэтому в этой точке разрыва нет. Предел функции при $x$, стремящемся к $1$ слева, равен $1^2 = 1$.

3. На интервале $x \ge 1$, функция задается формулой $f(x) = 2x - 1$. Это график прямой. Для построения прямой найдем две точки:

   • В начальной точке интервала $x = 1$: $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику. Это значение совпадает с пределом для второго участка, поэтому в точке $x=1$ разрыва нет.
   • Возьмем еще одну точку, например, $x=3$: $f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5$. Точка $(3, 5)$ также принадлежит графику.

   Проводим луч из точки $(1, 1)$ через точку $(3, 5)$ вправо и вверх.

Объединив все три части на одной координатной плоскости, мы получим итоговый график функции $f(x)$.

Ответ: График функции, построенный выше, состоит из трех частей: луча $y=4$ на интервале $(-\infty, -2]$, участка параболы $y=x^2$ на интервале $(-2, 1)$ и луча $y=2x-1$ на интервале $[1, +\infty)$. График является непрерывной линией.

358. Дана функция $f(x) = \begin{cases} 2x + 3, \text{ если } x \le -1 \\ x^2, \text{ если } -1 < x < 2 \\ 4, \text{ если } x \ge 2 \end{cases}$

1) Найтите $f(-4)$, $f(-0,3)$, $f(1,9)$, $f(3)$, $f(-1)$, $f(2)$.

2) Постройте график данной функции.

Для нахождения значений функции необходимо для каждого значения аргумента $x$ определить, какому из трех заданных интервалов он принадлежит, и затем использовать соответствующую этому интервалу формулу.

Вычисление $f(-4)$:
Значение $x = -4$ удовлетворяет условию $x \le -1$. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = 2x + 3$.
$f(-4) = 2 \cdot (-4) + 3 = -8 + 3 = -5$.

Вычисление $f(-0,3)$:
Значение $x = -0,3$ удовлетворяет условию $-1 < x < 2$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = x^2$.
$f(-0,3) = (-0,3)^2 = 0,09$.

Вычисление $f(1,9)$:
Значение $x = 1,9$ удовлетворяет условию $-1 < x < 2$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = x^2$.
$f(1,9) = (1,9)^2 = 3,61$.

Вычисление $f(3)$:
Значение $x = 3$ удовлетворяет условию $x \ge 2$. Следовательно, используем третью формулу: $f(x) = 4$.
$f(3) = 4$.

Вычисление $f(-1)$:
Значение $x = -1$ удовлетворяет условию $x \le -1$. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = 2x + 3$.
$f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$.

Вычисление $f(2)$:
Значение $x = 2$ удовлетворяет условию $x \ge 2$. Следовательно, используем третью формулу: $f(x) = 4$.
$f(2) = 4$.

Ответ: $f(-4) = -5$; $f(-0,3) = 0,09$; $f(1,9) = 3,61$; $f(3) = 4$; $f(-1) = 1$; $f(2) = 4$.

График данной кусочно-заданной функции строится из трех частей, каждая на своем интервале.

Часть 1: $x \le -1$
На этом промежутке функция задается формулой $y = 2x + 3$. Ее график — это луч. Для построения найдем две точки.
Начальная точка луча соответствует $x = -1$. Вычисляем $y = 2(-1) + 3 = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику (на чертеже изображается закрашенной точкой), так как неравенство $x \le -1$ нестрогое.
Возьмем еще одну точку из этого интервала, например, $x = -3$. Тогда $y = 2(-3) + 3 = -3$. Точка $(-3, -3)$.
Чертим луч, проходящий через точки $(-1, 1)$ и $(-3, -3)$.

Часть 2: $-1 < x < 2$
На этом интервале функция задается формулой $y = x^2$. Ее график — это часть параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0, 0)$.
Найдем значения на границах интервала. При $x \to -1$, $y \to (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$ является граничной, но не включается в эту часть графика (изображается выколотой точкой), так как неравенство строгое.
При $x \to 2$, $y \to 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$ также является выколотой.
Вершина параболы $(0,0)$ принадлежит этому интервалу. Также можно взять точку $x=1$, $y=1^2=1$.
Чертим дугу параболы, соединяющую выколотые точки $(-1, 1)$ и $(2, 4)$ и проходящую через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Часть 3: $x \ge 2$
На этом промежутке функция задается формулой $y = 4$. Ее график — это горизонтальный луч.
Начало луча находится в точке с абсциссой $x = 2$. Ордината этой точки $y = 4$. Точка $(2, 4)$ принадлежит графику (изображается закрашенной точкой), так как неравенство $x \ge 2$ нестрогое.
Чертим луч, выходящий из точки $(2, 4)$ и идущий вправо параллельно оси абсцисс.

Объединяя все три части на одной координатной плоскости, получаем график функции $f(x)$. В точках "стыковки" $x=-1$ и $x=2$ разрывов нет, так как выколотая точка одного участка "закрашивается" конечной точкой другого. Таким образом, функция непрерывна на всей числовой прямой.

Ответ: График функции представляет собой объединение трех частей: луча $y=2x+3$ на интервале $(-\infty, -1]$, дуги параболы $y=x^2$ на интервале $(-1, 2)$ и горизонтального луча $y=4$ на интервале $[2, +\infty)$.

359. Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0, \\ x+1, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

1) Найдите $f(-7), f(0), f(2)$.

2) Постройте график данной функции.

1) Найдите f(-7), f(0), f(2).

Для нахождения значений функции необходимо определить, какое из условий на аргумент $x$ выполняется, и использовать соответствующую этому условию формулу.

Для $f(-7)$:
Аргумент $x = -7$. Это значение удовлетворяет условию $x \le 0$. Следовательно, мы используем первую формулу: $f(x) = x^2$.
Подставляем значение $x = -7$ в эту формулу:
$f(-7) = (-7)^2 = 49$.

Для $f(0)$:
Аргумент $x = 0$. Это значение удовлетворяет условию $x \le 0$. Снова используем первую формулу: $f(x) = x^2$.
Подставляем значение $x = 0$ в эту формулу:
$f(0) = 0^2 = 0$.

Для $f(2)$:
Аргумент $x = 2$. Это значение удовлетворяет условию $x > 0$. Следовательно, мы используем вторую формулу: $f(x) = x+1$.
Подставляем значение $x = 2$ в эту формулу:
$f(2) = 2 + 1 = 3$.

Ответ: $f(-7) = 49$, $f(0) = 0$, $f(2) = 3$.

2) Постройте график данной функции.

График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей, каждая из которых строится на своей области определения.

Первая часть графика: $y = x^2$ при $x \le 0$.
Это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Построим её по нескольким точкам:
- Если $x = 0$, то $y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику. На графике она будет закрашенной.
- Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.
- Если $x = -2$, то $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.
Соединяем эти точки плавной кривой линией.

Вторая часть графика: $y = x + 1$ при $x > 0$.
Это луч, который является частью прямой $y = x + 1$. Для построения прямой достаточно двух точек. Поскольку условие $x > 0$ строгое, точка на границе ($x=0$) не будет входить в эту часть графика.
- Найдём координаты граничной точки: если $x = 0$, то $y = 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$ является началом луча, но не принадлежит ему (на графике она изображается "выколотой" или пустой точкой).
- Возьмём любую другую точку, где $x > 0$, например $x = 2$: $y = 2 + 1 = 3$. Точка $(2, 3)$ принадлежит графику.
Проводим луч из выколотой точки $(0, 1)$ через точку $(2, 3)$.

Итоговый график получается объединением этих двух частей на одной координатной плоскости. График имеет разрыв в точке $x=0$. При $x \le 0$ это ветвь параболы, а при $x > 0$ — луч.

Ответ: График функции состоит из ветви параболы $y=x^2$, определённой для $x \in (-\infty, 0]$, и луча $y=x+1$, определённого для $x \in (0, +\infty)$.

360. Дана функция $f(x) = \begin{cases} -\frac{6}{x}, & \text{если } x \le -1, \\ x^2, & \text{если } x > -1. \end{cases}$

1) Найдите $f(-12), f(-1), f(-0,9), f(3), f(0).$

2) Постройте график данной функции.

1) Для того чтобы найти значения функции $f(x)$ в заданных точках, необходимо определить, какому из двух промежутков принадлежит аргумент $x$, и подставить его в соответствующую формулу.

Дана функция: $f(x) = \begin{cases} -\frac{6}{x}, & \text{если } x \le -1 \\ x^2, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

• Для $x = -12$: поскольку $-12 \le -1$, используем первую формулу $f(x) = -\frac{6}{x}$.
  $f(-12) = -\frac{6}{-12} = \frac{1}{2} = 0.5$

• Для $x = -1$: поскольку $-1 \le -1$, используем первую формулу $f(x) = -\frac{6}{x}$.
  $f(-1) = -\frac{6}{-1} = 6$

• Для $x = -0.9$: поскольку $-0.9 > -1$, используем вторую формулу $f(x) = x^2$.
  $f(-0.9) = (-0.9)^2 = 0.81$

• Для $x = 3$: поскольку $3 > -1$, используем вторую формулу $f(x) = x^2$.
  $f(3) = 3^2 = 9$

• Для $x = 0$: поскольку $0 > -1$, используем вторую формулу $f(x) = x^2$.
  $f(0) = 0^2 = 0$

Ответ: $f(-12) = 0.5$; $f(-1) = 6$; $f(-0.9) = 0.81$; $f(3) = 9$; $f(0) = 0$.

2) Для построения графика данной функции нужно построить два графика на одной координатной плоскости, каждый на своем промежутке.

Первая часть графика: $y = -\frac{6}{x}$ при $x \le -1$.
Это ветвь гиперболы. Так как коэффициент $k = -6 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Нас интересует часть графика, где $x \le -1$, то есть часть ветви во II четверти. Составим таблицу значений для этой части графика:

Точка $(-1, 6)$ является крайней точкой этой ветви и принадлежит графику (на графике она будет закрашенной).

Вторая часть графика: $y = x^2$ при $x > -1$.
Это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Нас интересует часть графика, где $x > -1$. Составим таблицу значений для этой части графика, включая граничную точку:

Точка $(-1, 1)$ является начальной точкой для этой части графика, но она не принадлежит графику (на графике она будет "выколотой" или пустой), так как неравенство строгое ($x > -1$).

Построение:
На координатной плоскости строим ветвь гиперболы $y = -6/x$, начиная от закрашенной точки $(-1, 6)$ и продолжая влево. Затем строим часть параболы $y=x^2$, начиная от выколотой (пустой) точки $(-1, 1)$ и продолжая вправо через начало координат.

Ответ: График функции состоит из двух частей: ветви гиперболы $y = -6/x$ при $x \le -1$ (с конечной точкой $(-1, 6)$) и части параболы $y = x^2$ при $x > -1$ (начинающейся с выколотой точки $(-1, 1)$). График представлен на изображении выше.