Номер 357, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Упражнения - номер 357, страница 92.

Условие.

357. Функция $f$ задана следующим способом: $f(x) = \begin{cases} 4, & \text{если } x \le -2 \\ x^2, & \text{если } -2 < x < 1 \\ 2x - 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

1) Найдите $f(-3)$, $f(-2)$, $f(-1)$, $f(1)$, $f(3)$, $f(0,5)$.

2) Постройте график данной функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Найдите f(-3), f(-2), f(-1), f(1), f(3), f(0,5).

Чтобы найти значение функции в точке, необходимо определить, какому из трех интервалов, заданных в условии, принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

• Для $f(-3)$: аргумент $x = -3$. Так как $-3 \le -2$, используем первую формулу $f(x) = 4$.
  $f(-3) = 4$.

• Для $f(-2)$: аргумент $x = -2$. Так как $-2 \le -2$, используем первую формулу $f(x) = 4$.
  $f(-2) = 4$.

• Для $f(-1)$: аргумент $x = -1$. Так как $-2 < -1 < 1$, используем вторую формулу $f(x) = x^2$.
  $f(-1) = (-1)^2 = 1$.

• Для $f(1)$: аргумент $x = 1$. Так как $x \ge 1$, используем третью формулу $f(x) = 2x - 1$.
  $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

• Для $f(3)$: аргумент $x = 3$. Так как $3 \ge 1$, используем третью формулу $f(x) = 2x - 1$.
  $f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$.

• Для $f(0,5)$: аргумент $x = 0,5$. Так как $-2 < 0,5 < 1$, используем вторую формулу $f(x) = x^2$.
  $f(0,5) = (0,5)^2 = 0,25$.

Ответ: $f(-3) = 4$; $f(-2) = 4$; $f(-1) = 1$; $f(1) = 1$; $f(3) = 5$; $f(0,5) = 0,25$.

2) Постройте график данной функции.

График данной кусочно-заданной функции состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем интервале.

1. На интервале $x \le -2$, функция задается формулой $f(x) = 4$. Это график горизонтальной прямой $y=4$. Мы строим только ту часть прямой, где $x \le -2$. Это луч, выходящий из точки $(-2, 4)$ и идущий влево. Точка $(-2, 4)$ принадлежит этому лучу, так как неравенство нестрогое.

2. На интервале $-2 < x < 1$, функция задается формулой $f(x) = x^2$. Это график параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Мы строим только дугу параболы между $x = -2$ и $x = 1$. Предел функции при $x$, стремящемся к $-2$ справа, равен $(-2)^2 = 4$. Это значение совпадает со значением функции из первого интервала в точке $x=-2$, поэтому в этой точке разрыва нет. Предел функции при $x$, стремящемся к $1$ слева, равен $1^2 = 1$.

3. На интервале $x \ge 1$, функция задается формулой $f(x) = 2x - 1$. Это график прямой. Для построения прямой найдем две точки:

   • В начальной точке интервала $x = 1$: $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику. Это значение совпадает с пределом для второго участка, поэтому в точке $x=1$ разрыва нет.
   • Возьмем еще одну точку, например, $x=3$: $f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5$. Точка $(3, 5)$ также принадлежит графику.

   Проводим луч из точки $(1, 1)$ через точку $(3, 5)$ вправо и вверх.

Объединив все три части на одной координатной плоскости, мы получим итоговый график функции $f(x)$.

Ответ: График функции, построенный выше, состоит из трех частей: луча $y=4$ на интервале $(-\infty, -2]$, участка параболы $y=x^2$ на интервале $(-2, 1)$ и луча $y=2x-1$ на интервале $[1, +\infty)$. График является непрерывной линией.