Номер 353, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Упражнения - номер 353, страница 92.

Условие.

353. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = x - 1;$

2) $x^2 - 2x - 3 = 0;$

3) $x^2 = \frac{8}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^2 = x - 1$

Для решения данного уравнения графическим способом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = x - 1$. Корнями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Для построения возьмем несколько точек:
$x = -2, y = 4$
$x = -1, y = 1$
$x = 0, y = 0$
$x = 1, y = 1$
$x = 2, y = 4$

2. График функции $y = x - 1$ — это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек, например:
Если $x = 0$, то $y = -1$. Точка $(0, -1)$.
Если $x = 1$, то $y = 0$. Точка $(1, 0)$.

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что парабола $y = x^2$ и прямая $y = x - 1$ не пересекаются. Парабола полностью лежит выше прямой.
Алгебраическая проверка: перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней у уравнения нет.
Следовательно, графики не имеют точек пересечения.

Ответ: корней нет.

2) $x^2 - 2x - 3 = 0$

Преобразуем уравнение к виду, удобному для графического решения, оставив $x^2$ в левой части: $x^2 = 2x + 3$.
Теперь построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = 2x + 3$. Абсциссы точек их пересечения будут являться решениями исходного уравнения.

1. График функции $y = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.

2. График функции $y = 2x + 3$ — это прямая линия. Найдем две точки для ее построения:
Если $x = 0$, то $y = 3$. Точка $(0, 3)$.
Если $x = -1$, то $y = 2(-1) + 3 = 1$. Точка $(-1, 1)$.

Строим графики. Парабола $y = x^2$ и прямая $y = 2x + 3$ пересекаются в двух точках. Найдем их координаты, подставляя значения $x$ в оба уравнения:
- При $x = -1$: $y = (-1)^2 = 1$ и $y = 2(-1) + 3 = 1$. Первая точка пересечения: $(-1, 1)$.
- При $x = 3$: $y = 3^2 = 9$ и $y = 2(3) + 3 = 9$. Вторая точка пересечения: $(3, 9)$.
Абсциссы этих точек пересечения $x = -1$ и $x = 3$ и являются корнями уравнения.

Ответ: -1; 3.

3) $x^2 = \frac{8}{x}$

Для решения этого уравнения графически построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = \frac{8}{x}$. Область допустимых значений: $x \neq 0$.

1. График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви направлены вверх.

2. График функции $y = \frac{8}{x}$ — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Для построения возьмем несколько точек:
Для I четверти: $(1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1)$.
Для III четверти: $(-1, -8), (-2, -4), (-4, -2), (-8, -1)$.

Построим оба графика.
Заметим, что парабола $y = x^2$ всегда неотрицательна ($y \ge 0$). Гипербола $y = \frac{8}{x}$ отрицательна при $x < 0$ (в III четверти). Следовательно, в области $x < 0$ пересечений быть не может.
Ищем пересечения только при $x > 0$ (в I четверти), где обе функции положительны. Сравнивая значения функций, легко найти точку пересечения:
При $x = 2$: $y = 2^2 = 4$ и $y = \frac{8}{2} = 4$.
Таким образом, графики пересекаются в точке $(2, 4)$.
Абсцисса этой точки $x = 2$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: 2.