Номер 359, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Упражнения - номер 359, страница 92.

Условие.

359. Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0, \\ x+1, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

1) Найдите $f(-7), f(0), f(2)$.

2) Постройте график данной функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Найдите f(-7), f(0), f(2).

Для нахождения значений функции необходимо определить, какое из условий на аргумент $x$ выполняется, и использовать соответствующую этому условию формулу.

Для $f(-7)$:
Аргумент $x = -7$. Это значение удовлетворяет условию $x \le 0$. Следовательно, мы используем первую формулу: $f(x) = x^2$.
Подставляем значение $x = -7$ в эту формулу:
$f(-7) = (-7)^2 = 49$.

Для $f(0)$:
Аргумент $x = 0$. Это значение удовлетворяет условию $x \le 0$. Снова используем первую формулу: $f(x) = x^2$.
Подставляем значение $x = 0$ в эту формулу:
$f(0) = 0^2 = 0$.

Для $f(2)$:
Аргумент $x = 2$. Это значение удовлетворяет условию $x > 0$. Следовательно, мы используем вторую формулу: $f(x) = x+1$.
Подставляем значение $x = 2$ в эту формулу:
$f(2) = 2 + 1 = 3$.

Ответ: $f(-7) = 49$, $f(0) = 0$, $f(2) = 3$.

2) Постройте график данной функции.

График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей, каждая из которых строится на своей области определения.

Первая часть графика: $y = x^2$ при $x \le 0$.
Это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Построим её по нескольким точкам:
- Если $x = 0$, то $y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику. На графике она будет закрашенной.
- Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.
- Если $x = -2$, то $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.
Соединяем эти точки плавной кривой линией.

Вторая часть графика: $y = x + 1$ при $x > 0$.
Это луч, который является частью прямой $y = x + 1$. Для построения прямой достаточно двух точек. Поскольку условие $x > 0$ строгое, точка на границе ($x=0$) не будет входить в эту часть графика.
- Найдём координаты граничной точки: если $x = 0$, то $y = 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$ является началом луча, но не принадлежит ему (на графике она изображается "выколотой" или пустой точкой).
- Возьмём любую другую точку, где $x > 0$, например $x = 2$: $y = 2 + 1 = 3$. Точка $(2, 3)$ принадлежит графику.
Проводим луч из выколотой точки $(0, 1)$ через точку $(2, 3)$.

Итоговый график получается объединением этих двух частей на одной координатной плоскости. График имеет разрыв в точке $x=0$. При $x \le 0$ это ветвь параболы, а при $x > 0$ — луч.

Ответ: График функции состоит из ветви параболы $y=x^2$, определённой для $x \in (-\infty, 0]$, и луча $y=x+1$, определённого для $x \in (0, +\infty)$.