Номер 356, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Упражнения - номер 356, страница 92.

Условие.

356. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = x^2, \\ 3x + 2y = -6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2, \\ x - 3y = -3. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы определить количество решений системы графически, нужно построить графики каждого уравнения и найти количество точек их пересечения. Количество точек пересечения равно количеству решений системы.

Первое уравнение, $y = x^2$, задает параболу. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

Второе уравнение, $3x + 2y = -6$, является линейным. Чтобы построить график, выразим $y$ через $x$:

$2y = -3x - 6$

$y = -\frac{3}{2}x - 3$

Это уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки. Например:

• если $x = 0$, то $y = -3$. Точка (0, -3).
• если $x = -2$, то $y = -\frac{3}{2}(-2) - 3 = 3 - 3 = 0$. Точка (-2, 0).

Построим параболу $y = x^2$ и прямую $y = -\frac{3}{2}x - 3$ в одной системе координат. Парабола находится в первой и второй координатных четвертях, ее самая нижняя точка — (0, 0). Прямая проходит через точки (0, -3) и (-2, 0), то есть она расположена ниже вершины параболы и имеет отрицательный наклон. Визуально очевидно, что прямая и парабола не пересекаются.

Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: 0

2) Аналогично первому пункту, рассмотрим графики уравнений данной системы.

Первое уравнение — парабола $y = x^2$ с вершиной в точке (0, 0) и ветвями вверх.

Второе уравнение, $x - 3y = -3$, является линейным. Выразим $y$ через $x$:

$-3y = -x - 3$

$y = \frac{1}{3}x + 1$

Это уравнение прямой. Найдем две точки для ее построения:

• если $x = 0$, то $y = 1$. Точка (0, 1).
• если $x = 3$, то $y = \frac{1}{3}(3) + 1 = 1 + 1 = 2$. Точка (3, 2).

Построим параболу $y = x^2$ и прямую $y = \frac{1}{3}x + 1$ в одной системе координат. Прямая пересекает ось ординат в точке (0, 1), которая находится выше вершины параболы (0, 0). Поскольку прямая имеет положительный наклон, она будет возрастать и пересечет правую ветвь параболы. Так как она также проходит через вторую координатную четверть (например, при $x = -3$, $y = 0$), она пересечет и левую ветвь параболы.

Таким образом, графики имеют две точки пересечения.

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2