Номер 352, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Упражнения - номер 352, страница 92.

Условие.

352. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = 4x - 4$. Постройте графики данных функций и отметьте найденные точки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = 4x - 4$

Чтобы найти координаты точек пересечения двух графиков, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих функций. В точках пересечения значения координат $x$ и $y$ для обеих функций совпадают. Поэтому мы можем приравнять выражения для $y$.

Даны функции:
1) $y = x^2$
2) $y = 4x - 4$

Приравниваем правые части уравнений:
$x^2 = 4x - 4$

Переносим все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 4x + 4 = 0$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=2$.
$(x - 2)^2 = 0$

Решаем полученное уравнение:
$x - 2 = 0$
$x = 2$

Так как мы получили только один корень для $x$, это означает, что графики не пересекаются в двух точках, а касаются в одной.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 2$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать первое:
$y = x^2 = 2^2 = 4$

Для проверки подставим $x = 2$ во второе уравнение:
$y = 4x - 4 = 4(2) - 4 = 8 - 4 = 4$

Значения $y$ совпали. Следовательно, графики функций пересекаются (касаются) в одной точке с координатами $(2, 4)$.

Ответ: Координаты точки пересечения: $(2, 4)$.

Постройте графики данных функций и отметьте найденные точки

Для построения графиков подготовим данные.

1. График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Построим ее по нескольким точкам:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y = x²	9	4	1	0	1	4	9

2. График функции $y = 4x - 4$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:
- при $x = 0$, $y = 4(0) - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
- при $y = 0$, $0 = 4x - 4 \Rightarrow 4x=4 \Rightarrow x=1$. Точка $(1, 0)$.

Теперь построим оба графика в одной системе координат и отметим точку касания $(2, 4)$.

На графике синим цветом изображена парабола $y=x^2$, красным цветом — прямая $y=4x-4$. Зеленой точкой отмечено их касание в точке $(2, 4)$, что полностью соответствует результату, полученному аналитически.

Ответ: Графики функций построены и представлены на рисунке выше, точка пересечения $(2, 4)$ отмечена.