Номер 355, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Упражнения - номер 355, страница 92.

Условие.

355. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = x^2, \\ y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2, \\ y = -2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x - y + 6 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ 2x + 5y = 10. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы определить графически количество решений системы уравнений $\begin{cases} y = x^2, \\ y = 2; \end{cases}$, необходимо построить графики функций, заданных этими уравнениями, и найти количество точек их пересечения.

График уравнения $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх.

График уравнения $y = 2$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0,2)$ на оси ординат.

Так как прямая $y=2$ расположена выше вершины параболы $(0,0)$, она пересекает параболу в двух точках. Каждая точка пересечения соответствует одному решению системы. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

2) Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = x^2, \\ y = -2; \end{cases}$.

График уравнения $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Все точки этой параболы имеют неотрицательную ординату ($y \ge 0$).

График уравнения $y = -2$ — это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0,-2)$. Все точки этой прямой имеют ординату, равную -2.

Поскольку парабола $y=x^2$ целиком лежит в верхней полуплоскости (и касается оси Ox в начале координат), а прямая $y=-2$ целиком лежит в нижней полуплоскости, их графики не имеют общих точек. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: 0 решений.

3) Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x - y + 6 = 0; \end{cases}$. Преобразуем уравнения к стандартному виду $y=f(x)$:

$\begin{cases} y = x^2, \\ y = x + 6; \end{cases}$

График первого уравнения $y = x^2$ — это парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вверх.

График второго уравнения $y = x + 6$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=6$; если $y=0$, то $x=-6$. Прямая проходит через точки $(0,6)$ и $(-6,0)$.

Точка пересечения прямой с осью Oy $(0,6)$ находится выше вершины параболы. Прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной, поэтому она пересечет параболу в двух точках. Это означает, что система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

4) Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ 2x + 5y = 10; \end{cases}$. Преобразуем уравнения:

$\begin{cases} y = x^2, \\ 5y = 10 - 2x; \end{cases} \implies \begin{cases} y = x^2, \\ y = -\frac{2}{5}x + 2; \end{cases}$

График первого уравнения $y = x^2$ — парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вверх.

График второго уравнения $y = -\frac{2}{5}x + 2$ — это прямая. Найдем точки пересечения с осями: если $x=0$, то $y=2$ (точка $(0,2)$); если $y=0$, то $2x=10$, $x=5$ (точка $(5,0)$).

Прямая пересекает ось ординат в точке $(0,2)$, которая находится выше вершины параболы $(0,0)$. Так как прямая имеет отрицательный наклон, она будет пересекать обе ветви параболы. Таким образом, графики имеют две точки пересечения, и система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.