Номер 361, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Упражнения - номер 361, страница 93.

Условие.

361. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^3 + x^2}{x + 1};$

2) $y = \frac{x^4 - 4x^2}{x^2 - 4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для построения графика функции $y = \frac{x^3 + x^2}{x + 1}$ сначала найдем ее область определения. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, следовательно, $x + 1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$.

Далее, упростим выражение функции. В числителе вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$y = \frac{x^2(x + 1)}{x + 1}$

При условии, что $x \neq -1$, мы можем сократить дробь на $(x + 1)$. В результате получаем упрощенную функцию:

$y = x^2$

Таким образом, график исходной функции представляет собой параболу $y = x^2$, но с одной "выколотой" точкой, так как в точке $x = -1$ исходная функция не определена. Чтобы найти координаты этой точки, подставим значение $x = -1$ в упрощенную функцию: $y = (-1)^2 = 1$.

Следовательно, нужно построить график параболы $y = x^2$ и отметить на нем выколотую точку с координатами $(-1; 1)$.

Ответ: График функции — парабола $y=x^2$ с выколотой точкой $(-1; 1)$.

2) Для построения графика функции $y = \frac{x^4 - 4x^2}{x^2 - 4}$ найдем ее область определения. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x^2 - 4 \neq 0$. Разложив на множители, получаем $(x-2)(x+2) \neq 0$, откуда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь упростим выражение для функции. Вынесем в числителе общий множитель $x^2$ за скобки:

$y = \frac{x^2(x^2 - 4)}{x^2 - 4}$

Так как $x \neq 2$ и $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на выражение $(x^2 - 4)$. В результате получаем:

$y = x^2$

Графиком данной функции является парабола $y = x^2$, но с двумя выколотыми точками, соответствующими значениям $x = 2$ и $x = -2$, в которых исходная функция не определена. Найдем координаты этих точек:

При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Координаты первой выколотой точки — $(2; 4)$.

При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Координаты второй выколотой точки — $(-2; 4)$.

Следовательно, необходимо построить график параболы $y = x^2$ и отметить на нем выколотые точки с координатами $(2; 4)$ и $(-2; 4)$.

Ответ: График функции — парабола $y=x^2$ с выколотыми точками $(2; 4)$ и $(-2; 4)$.