Номер 368, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 368, страница 94.

Условие.

368. Докажите тождество:

$\frac{(a+b)^2}{a-b} : \left( \frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a}{a+b} \right) = a+b.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части. Выполним преобразования по шагам.

1. Сначала упростим выражение в скобках: $ \frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a}{a+b} $.

Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби является разностью квадратов: $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $. Этот знаменатель и будет общим.

Приводим все дроби к общему знаменателю $ (a-b)(a+b) $:

$ \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} + \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} - \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)} $

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним сложение и вычитание их числителей:

$ \frac{a(a+b) + (a^2+b^2) - a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab+a^2+b^2-a^2+ab}{a^2-b^2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(a^2+a^2-a^2) + (ab+ab) + b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2} $

Числитель полученной дроби является полным квадратом суммы: $ a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $. Знаменатель — разность квадратов $ (a-b)(a+b) $.

$ \frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a+b) $ (при условии, что $ a+b \neq 0 $):

$ \frac{a+b}{a-b} $

2. Теперь вернемся к исходному выражению и выполним деление:

$ \frac{(a+b)^2}{a-b} : \left( \frac{a+b}{a-b} \right) $

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{(a+b)^2}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a+b} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии, что $ a-b \neq 0 $ и $ a+b \neq 0 $):

$ \frac{(a+b) \cdot (a+b) \cdot (a-b)}{(a-b) \cdot (a+b)} = a+b $

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равной $ a+b $, что совпадает с его правой частью.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $ \frac{(a+b)^2}{a-b} : \left( \frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a}{a+b} \right) = a+b $ доказано.