Номер 364, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 364, страница 93.

Условие.

364. Постройте график уравнения:

1) $\frac{y - x^2}{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} = 0;$

2) $\frac{y - x^2}{y - x} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Рассматривается уравнение $\frac{y - x^2}{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} y - x^2 = 0 \\ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \neq 0 \end{cases}$

Первое уравнение системы, $y - x^2 = 0$, можно переписать как $y = x^2$. Графиком этого уравнения является парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Второе условие, $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \neq 0$, означает, что из графика нужно исключить точку, в которой знаменатель обращается в ноль. Сумма квадратов равна нулю только если оба слагаемых равны нулю: $x-1 = 0$ и $y-1 = 0$. Это соответствует точке с координатами $(1, 1)$.

Необходимо проверить, принадлежит ли точка $(1, 1)$ параболе $y = x^2$. Подставим $x=1$ в уравнение параболы: $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит параболе, следовательно, ее необходимо исключить ("выколоть") из графика.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(1, 1)$.

2) Рассматривается уравнение $\frac{y - x^2}{y - x} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y - x^2 = 0 \\ y - x \neq 0 \end{cases}$

Первое уравнение, $y = x^2$, задает параболу.

Второе условие, $y - x \neq 0$ (или $y \neq x$), означает, что из графика параболы $y = x^2$ необходимо исключить все точки, у которых ордината равна абсциссе. Эти точки лежат на прямой $y=x$.

Чтобы найти исключаемые точки, найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = x$. Для этого решим систему:

$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x \end{cases}$

Приравняв правые части уравнений, получим $x^2 = x$.

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = 0^2 = 0$. Первая точка пересечения — $(0, 0)$.

При $x_2 = 1$, $y_2 = 1^2 = 1$. Вторая точка пересечения — $(1, 1)$.

Следовательно, из графика параболы $y = x^2$ необходимо выколоть две точки: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотыми точками $(0, 0)$ и $(1, 1)$.