Номер 363, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 363, страница 93.

Условие.

363. Найдите область определения, область значений и нули функции $y = -x^2$. Постройте график этой функции.

Рис. 15

a

б

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для анализа функции $y = -x^2$ последовательно найдем ее основные характеристики.

Область определения

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Функция $y = -x^2$ является квадратичной (многочленом второй степени). Выражение $-x^2$ имеет смысл при любых действительных значениях $x$. Никаких ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа, здесь нет.
Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$.
Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$.
Если умножить это неравенство на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $-x^2 \le 0$.
Это означает, что значение функции $y = -x^2$ всегда будет меньше или равно нулю. Максимальное значение функция достигает при $x=0$ и оно равно $y=0$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0]$.

Нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$. Для их нахождения решим уравнение:
$-x^2 = 0$
Умножим обе части на -1:
$x^2 = 0$
$x = 0$
Таким образом, функция имеет единственный нуль в точке $x=0$. Это точка, в которой график функции пересекает ось абсцисс.

Ответ: $x = 0$.

Построение графика

Графиком функции $y = -x^2$ является парабола. Построим ее по точкам, используя найденные свойства.
1. Вершина параболы. Вершина находится в точке максимума функции. Как мы выяснили, это точка $(0; 0)$.
2. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен -1, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
3. Симметрия. Функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
4. Контрольные точки. Найдем несколько точек, принадлежащих графику, для $x > 0$ и отразим их симметрично.
- при $x = 1$, $y = -(1)^2 = -1$. Получаем точку $(1; -1)$. Симметричная ей точка $(-1; -1)$.
- при $x = 2$, $y = -(2)^2 = -4$. Получаем точку $(2; -4)$. Симметричная ей точка $(-2; -4)$.
- при $x = 3$, $y = -(3)^2 = -9$. Получаем точку $(3; -9)$. Симметричная ей точка $(-3; -9)$.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в начале координат $(0;0)$ и ветвями, направленными вниз, симметричная относительно оси OY.