Номер 366, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Упражнения - номер 366, страница 93.

Условие.

Рис. 15

а

б

366. Задайте с помощью формул функцию, график которой изображён на рисунке 15.

Рис. 16

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

364.

1) Чтобы построить график уравнения $\frac{y - x^2}{(x-1)^2 + (y-1)^2} = 0$, необходимо учесть, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$$ \begin{cases} y - x^2 = 0 \\ (x-1)^2 + (y-1)^2 \neq 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения системы получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы с вершиной в начале координат.

Второе условие $(x-1)^2 + (y-1)^2 \neq 0$ означает, что точка $(x, y)$ не может быть равна $(1, 1)$, так как сумма двух квадратов равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю, то есть $x-1=0$ и $y-1=0$.

Проверим, принадлежит ли точка $(1, 1)$ параболе $y = x^2$. Подставив $x=1$, получаем $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ лежит на параболе.

Следовательно, график исходного уравнения представляет собой параболу $y = x^2$, из которой "выколота" точка $(1, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y=x^2$ с выколотой точкой $(1, 1)$.

2) Для уравнения $\frac{y - x^2}{y - x} = 0$ применяем тот же принцип. Уравнение равносильно системе:

$$ \begin{cases} y - x^2 = 0 \\ y - x \neq 0 \end{cases} $$

Первое уравнение $y = x^2$ задает параболу. Второе условие $y \neq x$ означает, что из графика параболы нужно исключить точки, в которых ордината равна абсциссе.

Чтобы найти эти точки, решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = x \end{cases} $$

Приравняв правые части, получим $x^2 = x$, откуда $x^2 - x = 0$, или $x(x-1) = 0$. Решениями являются $x=0$ и $x=1$.

Если $x=0$, то $y=0$. Получаем точку $(0, 0)$.

Если $x=1$, то $y=1$. Получаем точку $(1, 1)$.

Таким образом, из параболы $y = x^2$ необходимо исключить две точки: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y=x^2$ с выколотыми точками $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

365.

Рассмотрим уравнение $\frac{x^2 - y}{(x+2)^2 + (y-4)^2} = 0$. Оно эквивалентно системе:

$$ \begin{cases} x^2 - y = 0 \\ (x+2)^2 + (y-4)^2 \neq 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения получаем $y = x^2$, что является уравнением параболы.

Второе условие $(x+2)^2 + (y-4)^2 \neq 0$ исключает точку, для которой $x+2=0$ и $y-4=0$, то есть точку $(-2, 4)$.

Проверим, лежит ли точка $(-2, 4)$ на параболе $y = x^2$. При $x=-2$ получаем $y = (-2)^2 = 4$. Точка принадлежит параболе.

Значит, график уравнения — это парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(-2, 4)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y=x^2$ с выколотой точкой $(-2, 4)$.

366.

а) График на рисунке 15а является кусочно-заданной функцией. Проанализируем каждый участок:

1. При $x < 0$ график представляет собой ветвь параболы с вершиной в $(0,0)$, проходящую через точку $(-1, 1)$. Это соответствует функции $y=x^2$.

2. При $x > 1$ график является горизонтальной прямой $y=1$.

3. На отрезке $[0, 1]$ график соединяет точки $(0,0)$ и $(1,1)$. В точке $(0,0)$ он плавно переходит из параболы $y=x^2$ (касательная горизонтальна), а в точке $(1,1)$ плавно переходит в прямую $y=1$ (касательная также горизонтальна). Этим условиям удовлетворяет кубическая функция вида $y=ax^3+bx^2+cx+d$. Из условий $f(0)=0, f'(0)=0, f(1)=1, f'(1)=0$ находим коэффициенты: $a=-2, b=3, c=0, d=0$. Таким образом, на этом отрезке функция задается формулой $y = -2x^3+3x^2$.

Объединяя все участки, получаем формулу:

$$ y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ -2x^3+3x^2, & \text{если } 0 \le x \le 1 \\ 1, & \text{если } x > 1 \end{cases} $$

Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ -2x^3+3x^2, & \text{если } 0 \le x \le 1 \\ 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

б) График на рисунке 15б симметричен относительно оси $y$, следовательно, функция является четной. Рассмотрим ее участки:

1. На отрезке $[-2, 2]$ график является параболой с вершиной в $(0,0)$, проходящей через точки $(\pm 1, 1)$ и $(\pm 2, 4)$. Это график функции $y=x^2$.

2. При $x > 2$ и $x < -2$ (или $|x|>2$) график представляет собой два горизонтальных луча на уровне $y=4$.

В точках $(\pm 2, 4)$ происходит "излом" графика, что соответствует переходу от параболы к горизонтальной прямой.

Функцию можно задать с помощью системы:

$$ y = \begin{cases} x^2, & \text{если } |x| \le 2 \\ 4, & \text{если } |x| > 2 \end{cases} $$

Или, раскрыв модуль:

$$ y = \begin{cases} 4, & \text{если } x < -2 \\ x^2, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ 4, & \text{если } x > 2 \end{cases} $$

Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } |x| \le 2 \\ 4, & \text{если } |x| > 2 \end{cases}$