Номер 370, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 370, страница 94.

Условие.

370. Докажите, что значение выражения $27^6 - 9^7$ кратно 48.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы доказать, что значение выражения $27^6 - 9^7$ кратно 48, необходимо показать, что оно делится на 48 без остатка. Для этого преобразуем данное выражение.
Сначала представим основания степеней, 27 и 9, как степени числа 3:
$27 = 3^3$
$9 = 3^2$
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$27^6 - 9^7 = (3^3)^6 - (3^2)^7$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим выражение:
$(3^3)^6 - (3^2)^7 = 3^{3 \cdot 6} - 3^{2 \cdot 7} = 3^{18} - 3^{14}$
Вынесем за скобки общий множитель $3^{14}$ (степень с наименьшим показателем):
$3^{18} - 3^{14} = 3^{14} \cdot (3^{18-14} - 1) = 3^{14} \cdot (3^4 - 1)$
Вычислим значение в скобках:
$3^4 - 1 = 81 - 1 = 80$
Таким образом, наше выражение приняло вид:
$3^{14} \cdot 80$
Чтобы доказать кратность 48, разложим 48 на простые множители: $48 = 3 \cdot 16$.
Теперь представим наше полученное выражение через множители 3 и 16:
$3^{14} \cdot 80 = 3^{14} \cdot (16 \cdot 5)$
Мы можем перегруппировать множители следующим образом:
$3^{14} \cdot 16 \cdot 5 = (3 \cdot 16) \cdot (3^{13} \cdot 5) = 48 \cdot (3^{13} \cdot 5)$
Поскольку выражение $27^6 - 9^7$ можно представить в виде произведения $48 \cdot k$, где $k = 3^{13} \cdot 5$ является целым числом, то исходное выражение кратно 48.
Ответ: Что и требовалось доказать.