Номер 376, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Упражнения - номер 376, страница 94.

Условие.

376. Натуральные числа $x, y, z$ таковы, что значения выражений $x + y, y + z, x + z$ – простые числа. Докажите, что среди чисел $x, y, z$ есть по крайней мере два числа, равные 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $x, y, z$ — натуральные числа. По условию задачи, значения выражений $x + y$, $y + z$ и $x + z$ являются простыми числами. Обозначим эти простые числа как $p_1 = x + y$, $p_2 = y + z$ и $p_3 = x + z$.

Рассмотрим сумму этих трех простых чисел:

$S = p_1 + p_2 + p_3 = (x + y) + (y + z) + (x + z) = 2x + 2y + 2z = 2(x+y+z)$.

Из полученного выражения видно, что сумма $S$ является четным числом. Сумма трех чисел ($p_1, p_2, p_3$) является четной в двух случаях:

1. Все три числа четные.
2. Одно число четное, а два других — нечетные.

Поскольку $p_1, p_2, p_3$ — простые числа, а единственное четное простое число — это 2, то в обоих случаях хотя бы одно из этих простых чисел должно быть равно 2.

Пусть, без ограничения общности, $p_1 = x + y = 2$.

Так как по условию $x$ и $y$ — натуральные числа, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$, единственным решением уравнения $x + y = 2$ в натуральных числах является $x=1$ и $y=1$.

Таким образом, мы доказали, что по крайней мере два из чисел $x, y, z$ равны 1. Аналогичные рассуждения можно провести, если предположить, что $p_2=2$ (тогда $y=1, z=1$) или $p_3=2$ (тогда $x=1, z=1$). Во всех возможных случаях утверждение задачи выполняется.

Ответ: Утверждение доказано. Анализ четности суммы $(x+y)+(y+z)+(x+z)=2(x+y+z)$ показывает, что хотя бы одна из сумм $x+y$, $y+z$, $x+z$ должна быть равна 2. Так как $x, y, z$ — натуральные числа, это означает, что два из них должны быть равны 1.