Номер 374, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 374, страница 94.

Условие.

374. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 = a$ не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Рассмотрим данное уравнение $x^2 = a$.

Левая часть этого уравнения, $x^2$, представляет собой квадрат действительного числа $x$. По определению, квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) является неотрицательным числом. То есть, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$.

Уравнение будет иметь решение (корни) только в том случае, если правая часть уравнения, равная $a$, может быть равна левой части, то есть $x^2$.

Проанализируем три возможных случая для значения параметра $a$:

1. Если $a > 0$ (то есть $a$ — положительное число), то уравнение $x^2 = a$ имеет два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$.
2. Если $a = 0$, то уравнение $x^2 = 0$ имеет один действительный корень: $x = 0$.
3. Если $a < 0$ (то есть $a$ — отрицательное число), то уравнение $x^2 = a$ не имеет действительных корней, так как неотрицательное число ($x^2$) не может быть равно отрицательному числу ($a$).

Таким образом, чтобы уравнение $x^2 = a$ не имело корней, необходимо и достаточно, чтобы параметр $a$ был отрицательным.

Ответ: при $a < 0$.