Страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

368. Докажите тождество:

$\frac{(a+b)^2}{a-b} : \left( \frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a}{a+b} \right) = a+b.$

Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части. Выполним преобразования по шагам.

1. Сначала упростим выражение в скобках: $ \frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a}{a+b} $.

Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби является разностью квадратов: $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $. Этот знаменатель и будет общим.

Приводим все дроби к общему знаменателю $ (a-b)(a+b) $:

$ \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} + \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} - \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)} $

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним сложение и вычитание их числителей:

$ \frac{a(a+b) + (a^2+b^2) - a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab+a^2+b^2-a^2+ab}{a^2-b^2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(a^2+a^2-a^2) + (ab+ab) + b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2} $

Числитель полученной дроби является полным квадратом суммы: $ a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $. Знаменатель — разность квадратов $ (a-b)(a+b) $.

$ \frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a+b) $ (при условии, что $ a+b \neq 0 $):

$ \frac{a+b}{a-b} $

2. Теперь вернемся к исходному выражению и выполним деление:

$ \frac{(a+b)^2}{a-b} : \left( \frac{a+b}{a-b} \right) $

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{(a+b)^2}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a+b} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии, что $ a-b \neq 0 $ и $ a+b \neq 0 $):

$ \frac{(a+b) \cdot (a+b) \cdot (a-b)}{(a-b) \cdot (a+b)} = a+b $

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равной $ a+b $, что совпадает с его правой частью.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $ \frac{(a+b)^2}{a-b} : \left( \frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a}{a+b} \right) = a+b $ доказано.

369. Решите уравнение:

$\frac{6}{x-2} - \frac{x+3}{x} = \frac{x+6}{x^2-2x}$.

Исходное уравнение:

$\frac{6}{x-2} - \frac{x+3}{x} = \frac{x+6}{x^2-2x}$

Для решения этого рационального уравнения сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), то есть значения $x$, при которых знаменатели дробей не обращаются в ноль.

1. $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

2. $x \neq 0$

3. $x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x - 2) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 2$

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x$ может быть любым числом, кроме $0$ и $2$.

Теперь приведем все дроби в уравнении к общему знаменателю. Разложим на множители знаменатель в правой части: $x^2 - 2x = x(x-2)$. Этот знаменатель является общим для всех дробей.

Домножим каждую часть уравнения на общий знаменатель $x(x-2)$, чтобы избавиться от дробей. Это преобразование будет равносильным в рамках ОДЗ.

$\frac{6 \cdot x(x-2)}{x-2} - \frac{(x+3) \cdot x(x-2)}{x} = \frac{(x+6) \cdot x(x-2)}{x(x-2)}$

После сокращения одинаковых множителей в числителях и знаменателях получим целое уравнение:

$6x - (x+3)(x-2) = x+6$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$6x - (x^2 - 2x + 3x - 6) = x+6$

$6x - (x^2 + x - 6) = x+6$

$6x - x^2 - x + 6 = x+6$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + 5x + 6 = x+6$

Перенесем все члены в правую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$0 = x^2 - 5x + x + 6 - 6$

$x^2 - 4x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $x$ за скобку:

$x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

Последний шаг — проверка найденных корней на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 2$).

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=0$ знаменатели дробей $\frac{x+3}{x}$ и $\frac{x+6}{x^2-2x}$ обращаются в ноль. Следовательно, $x_1 = 0$ — посторонний корень.

Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $4 \neq 0$ и $4 \neq 2$.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $4$

370. Докажите, что значение выражения $27^6 - 9^7$ кратно 48.

Чтобы доказать, что значение выражения $27^6 - 9^7$ кратно 48, необходимо показать, что оно делится на 48 без остатка. Для этого преобразуем данное выражение.
Сначала представим основания степеней, 27 и 9, как степени числа 3:
$27 = 3^3$
$9 = 3^2$
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$27^6 - 9^7 = (3^3)^6 - (3^2)^7$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим выражение:
$(3^3)^6 - (3^2)^7 = 3^{3 \cdot 6} - 3^{2 \cdot 7} = 3^{18} - 3^{14}$
Вынесем за скобки общий множитель $3^{14}$ (степень с наименьшим показателем):
$3^{18} - 3^{14} = 3^{14} \cdot (3^{18-14} - 1) = 3^{14} \cdot (3^4 - 1)$
Вычислим значение в скобках:
$3^4 - 1 = 81 - 1 = 80$
Таким образом, наше выражение приняло вид:
$3^{14} \cdot 80$
Чтобы доказать кратность 48, разложим 48 на простые множители: $48 = 3 \cdot 16$.
Теперь представим наше полученное выражение через множители 3 и 16:
$3^{14} \cdot 80 = 3^{14} \cdot (16 \cdot 5)$
Мы можем перегруппировать множители следующим образом:
$3^{14} \cdot 16 \cdot 5 = (3 \cdot 16) \cdot (3^{13} \cdot 5) = 48 \cdot (3^{13} \cdot 5)$
Поскольку выражение $27^6 - 9^7$ можно представить в виде произведения $48 \cdot k$, где $k = 3^{13} \cdot 5$ является целым числом, то исходное выражение кратно 48.
Ответ: Что и требовалось доказать.

371. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 30 км, одновременно навстречу друг другу вышли два туриста и встретились через 3 ч 45 мин. Если бы первый из них вышел на 2 ч раньше второго, то они встретились бы через 4,5 ч после выхода первого. Найдите скорость каждого туриста.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого туриста, а $v_2$ (км/ч) — скорость второго туриста.

Из первого условия задачи известно, что туристы вышли одновременно навстречу друг другу из двух пунктов на расстоянии 30 км и встретились через 3 часа 45 минут. Переведем время в часы: $3 \text{ ч } 45 \text{ мин } = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч} = 3.75 \text{ ч}$. При движении навстречу друг другу их скорость сближения равна сумме их скоростей $(v_1 + v_2)$. За время $t = 3.75$ ч они вместе преодолели все расстояние $S = 30$ км. Составим первое уравнение: $(v_1 + v_2) \cdot 3.75 = 30$.

Из второго условия задачи известно, что если бы первый турист вышел на 2 часа раньше второго, то встреча произошла бы через 4,5 часа после выхода первого. Это означает, что время в пути первого туриста составило $t_1 = 4.5$ ч. Второй турист был в пути на 2 часа меньше, то есть $t_2 = 4.5 - 2 = 2.5$ ч. Расстояние, пройденное первым туристом, равно $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 4.5v_1$. Расстояние, пройденное вторым туристом, равно $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 2.5v_2$. Сумма пройденных ими расстояний равна общему расстоянию: $S_1 + S_2 = 30$. Составим второе уравнение: $4.5v_1 + 2.5v_2 = 30$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} 3.75(v_1 + v_2) = 30 \\ 4.5v_1 + 2.5v_2 = 30 \end{cases} $$ Упростим первое уравнение, разделив обе части на 3.75: $v_1 + v_2 = \frac{30}{3.75} = 8$. Из этого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 8 - v_1$.

Подставим полученное выражение для $v_2$ во второе уравнение системы: $4.5v_1 + 2.5(8 - v_1) = 30$. Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_1$: $4.5v_1 + 20 - 2.5v_1 = 30$ $(4.5 - 2.5)v_1 = 30 - 20$ $2v_1 = 10$ $v_1 = 5$. Итак, скорость первого туриста равна 5 км/ч.

Теперь найдем скорость второго туриста, подставив значение $v_1$ в выражение $v_2 = 8 - v_1$: $v_2 = 8 - 5 = 3$. Скорость второго туриста равна 3 км/ч.

Ответ: скорость первого туриста — 5 км/ч, скорость второго туриста — 3 км/ч.

372. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна:

1) $25 \text{ см}^2$;

2) $1600 \text{ дм}^2$;

3) $0,04 \text{ м}^2$.

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – это длина стороны квадрата. Соответственно, чтобы найти сторону квадрата, зная его площадь, необходимо извлечь квадратный корень из значения площади. Формула для нахождения стороны: $a = \sqrt{S}$.

1)

Площадь квадрата равна $S = 25 \text{ см}^2$.

Чтобы найти сторону квадрата $a$, извлечем квадратный корень из площади:

$a = \sqrt{25 \text{ см}^2} = 5 \text{ см}$.

Ответ: 5 см.

2)

Площадь квадрата равна $S = 1600 \text{ дм}^2$.

Найдем сторону квадрата $a$:

$a = \sqrt{1600 \text{ дм}^2} = \sqrt{16 \cdot 100} \text{ дм} = 40 \text{ дм}$.

Ответ: 40 дм.

3)

Площадь квадрата равна $S = 0,04 \text{ м}^2$.

Найдем сторону квадрата $a$:

$a = \sqrt{0,04 \text{ м}^2} = \sqrt{\frac{4}{100}} \text{ м} = \frac{2}{10} \text{ м} = 0,2 \text{ м}$.

Ответ: 0,2 м.

373. Решите уравнение:

1) $x^2 = 9$;

2) $x^2 = \frac{36}{49}$.

1) Для решения уравнения $x^2 = 9$ необходимо найти значение $x$, которое при возведении в квадрат равно 9. Для этого нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня — положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{9}$
Вычисляем корень:
$x = \pm3$
Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Ответ: $-3; 3$.

2) Для решения уравнения $x^2 = \frac{36}{49}$ поступим аналогично. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения.
$x = \pm\sqrt{\frac{36}{49}}$
Воспользуемся свойством квадратного корня из дроби, которое гласит, что корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
$x = \pm\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}}$
Вычисляем значения корней:
$x = \pm\frac{6}{7}$
Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = \frac{6}{7}$ и $x_2 = -\frac{6}{7}$.
Ответ: $-\frac{6}{7}; \frac{6}{7}$.

374. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 = a$ не имеет корней?

Рассмотрим данное уравнение $x^2 = a$.

Левая часть этого уравнения, $x^2$, представляет собой квадрат действительного числа $x$. По определению, квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) является неотрицательным числом. То есть, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$.

Уравнение будет иметь решение (корни) только в том случае, если правая часть уравнения, равная $a$, может быть равна левой части, то есть $x^2$.

Проанализируем три возможных случая для значения параметра $a$:

1. Если $a > 0$ (то есть $a$ — положительное число), то уравнение $x^2 = a$ имеет два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$.
2. Если $a = 0$, то уравнение $x^2 = 0$ имеет один действительный корень: $x = 0$.
3. Если $a < 0$ (то есть $a$ — отрицательное число), то уравнение $x^2 = a$ не имеет действительных корней, так как неотрицательное число ($x^2$) не может быть равно отрицательному числу ($a$).

Таким образом, чтобы уравнение $x^2 = a$ не имело корней, необходимо и достаточно, чтобы параметр $a$ был отрицательным.

Ответ: при $a < 0$.

375. Постройте графики функций $y = x^2$ и $y = 1$ и найдите координаты их общих точек.

Построение графиков

Для решения задачи необходимо построить графики двух функций на одной координатной плоскости.

1. График функции $y = x^2$.
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Основные свойства графика:
- Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
- Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).
- График симметричен относительно оси ординат (оси OY).
Для более точного построения графика составим таблицу значений для нескольких ключевых точек:

2. График функции $y = 1$.
Это постоянная функция, где значение $y$ всегда равно 1, независимо от значения $x$. Графиком является прямая линия, которая:
- Параллельна оси абсцисс (OX).
- Проходит через точку $(0, 1)$ на оси ординат (OY).

При построении обоих графиков на одной координатной плоскости мы видим, что парабола $y = x^2$ и горизонтальная прямая $y = 1$ пересекаются в двух точках.

Нахождение координат общих точек

Чтобы найти точные координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений данных функций. Координаты $(x, y)$ общих точек должны удовлетворять обоим уравнениям:$$\begin{cases} y = x^2 \\ y = 1\end{cases}$$

Поскольку в обоих уравнениях левые части равны ($y$), мы можем приравнять их правые части, подставив значение $y$ из второго уравнения в первое:$$x^2 = 1$$

Это простое квадратное уравнение. Найдем его корни:
$x = \pm\sqrt{1}$
Отсюда получаем два значения для абсциссы $x$:
$x_1 = 1$
$x_2 = -1$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Ордината ($y$) для этих точек задана вторым уравнением системы и всегда равна 1.
Таким образом, мы нашли две общие точки:
- Первая точка: при $x=1$, $y=1$. Координаты: $(1, 1)$.
- Вторая точка: при $x=-1$, $y=1$. Координаты: $(-1, 1)$.

Ответ: Координаты общих точек: $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

376. Натуральные числа $x, y, z$ таковы, что значения выражений $x + y, y + z, x + z$ – простые числа. Докажите, что среди чисел $x, y, z$ есть по крайней мере два числа, равные 1.

Пусть $x, y, z$ — натуральные числа. По условию задачи, значения выражений $x + y$, $y + z$ и $x + z$ являются простыми числами. Обозначим эти простые числа как $p_1 = x + y$, $p_2 = y + z$ и $p_3 = x + z$.

Рассмотрим сумму этих трех простых чисел:

$S = p_1 + p_2 + p_3 = (x + y) + (y + z) + (x + z) = 2x + 2y + 2z = 2(x+y+z)$.

Из полученного выражения видно, что сумма $S$ является четным числом. Сумма трех чисел ($p_1, p_2, p_3$) является четной в двух случаях:

1. Все три числа четные.
2. Одно число четное, а два других — нечетные.

Поскольку $p_1, p_2, p_3$ — простые числа, а единственное четное простое число — это 2, то в обоих случаях хотя бы одно из этих простых чисел должно быть равно 2.

Пусть, без ограничения общности, $p_1 = x + y = 2$.

Так как по условию $x$ и $y$ — натуральные числа, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$, единственным решением уравнения $x + y = 2$ в натуральных числах является $x=1$ и $y=1$.

Таким образом, мы доказали, что по крайней мере два из чисел $x, y, z$ равны 1. Аналогичные рассуждения можно провести, если предположить, что $p_2=2$ (тогда $y=1, z=1$) или $p_3=2$ (тогда $x=1, z=1$). Во всех возможных случаях утверждение задачи выполняется.

Ответ: Утверждение доказано. Анализ четности суммы $(x+y)+(y+z)+(x+z)=2(x+y+z)$ показывает, что хотя бы одна из сумм $x+y$, $y+z$, $x+z$ должна быть равна 2. Так как $x, y, z$ — натуральные числа, это означает, что два из них должны быть равны 1.