Номер 375, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 375, страница 94.

Условие.

375. Постройте графики функций $y = x^2$ и $y = 1$ и найдите координаты их общих точек.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Построение графиков

Для решения задачи необходимо построить графики двух функций на одной координатной плоскости.

1. График функции $y = x^2$.
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Основные свойства графика:
- Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
- Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).
- График симметричен относительно оси ординат (оси OY).
Для более точного построения графика составим таблицу значений для нескольких ключевых точек:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y = x^2$	4	1	0	1	4

2. График функции $y = 1$.
Это постоянная функция, где значение $y$ всегда равно 1, независимо от значения $x$. Графиком является прямая линия, которая:
- Параллельна оси абсцисс (OX).
- Проходит через точку $(0, 1)$ на оси ординат (OY).

При построении обоих графиков на одной координатной плоскости мы видим, что парабола $y = x^2$ и горизонтальная прямая $y = 1$ пересекаются в двух точках.

Нахождение координат общих точек

Чтобы найти точные координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений данных функций. Координаты $(x, y)$ общих точек должны удовлетворять обоим уравнениям:$$\begin{cases} y = x^2 \\ y = 1\end{cases}$$

Поскольку в обоих уравнениях левые части равны ($y$), мы можем приравнять их правые части, подставив значение $y$ из второго уравнения в первое:$$x^2 = 1$$

Это простое квадратное уравнение. Найдем его корни:
$x = \pm\sqrt{1}$
Отсюда получаем два значения для абсциссы $x$:
$x_1 = 1$
$x_2 = -1$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Ордината ($y$) для этих точек задана вторым уравнением системы и всегда равна 1.
Таким образом, мы нашли две общие точки:
- Первая точка: при $x=1$, $y=1$. Координаты: $(1, 1)$.
- Вторая точка: при $x=-1$, $y=1$. Координаты: $(-1, 1)$.

Ответ: Координаты общих точек: $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.