Номер 369, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Упражнения - номер 369, страница 94.

Условие.

369. Решите уравнение:

$\frac{6}{x-2} - \frac{x+3}{x} = \frac{x+6}{x^2-2x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Исходное уравнение:

$\frac{6}{x-2} - \frac{x+3}{x} = \frac{x+6}{x^2-2x}$

Для решения этого рационального уравнения сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), то есть значения $x$, при которых знаменатели дробей не обращаются в ноль.

1. $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

2. $x \neq 0$

3. $x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x - 2) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 2$

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x$ может быть любым числом, кроме $0$ и $2$.

Теперь приведем все дроби в уравнении к общему знаменателю. Разложим на множители знаменатель в правой части: $x^2 - 2x = x(x-2)$. Этот знаменатель является общим для всех дробей.

Домножим каждую часть уравнения на общий знаменатель $x(x-2)$, чтобы избавиться от дробей. Это преобразование будет равносильным в рамках ОДЗ.

$\frac{6 \cdot x(x-2)}{x-2} - \frac{(x+3) \cdot x(x-2)}{x} = \frac{(x+6) \cdot x(x-2)}{x(x-2)}$

После сокращения одинаковых множителей в числителях и знаменателях получим целое уравнение:

$6x - (x+3)(x-2) = x+6$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$6x - (x^2 - 2x + 3x - 6) = x+6$

$6x - (x^2 + x - 6) = x+6$

$6x - x^2 - x + 6 = x+6$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + 5x + 6 = x+6$

Перенесем все члены в правую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$0 = x^2 - 5x + x + 6 - 6$

$x^2 - 4x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $x$ за скобку:

$x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

Последний шаг — проверка найденных корней на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 2$).

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=0$ знаменатели дробей $\frac{x+3}{x}$ и $\frac{x+6}{x^2-2x}$ обращаются в ноль. Следовательно, $x_1 = 0$ — посторонний корень.

Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $4 \neq 0$ и $4 \neq 2$.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $4$