Номер 369, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 369, страница 94.
№369 (с. 94)
Условие. №369 (с. 94)
скриншот условия

369. Решите уравнение:
$\frac{6}{x-2} - \frac{x+3}{x} = \frac{x+6}{x^2-2x}$.
Решение 1. №369 (с. 94)

Решение 2. №369 (с. 94)

Решение 3. №369 (с. 94)

Решение 5. №369 (с. 94)

Решение 6. №369 (с. 94)

Решение 8. №369 (с. 94)
Исходное уравнение:
$\frac{6}{x-2} - \frac{x+3}{x} = \frac{x+6}{x^2-2x}$
Для решения этого рационального уравнения сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), то есть значения $x$, при которых знаменатели дробей не обращаются в ноль.
1. $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
2. $x \neq 0$
3. $x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x - 2) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 2$
Таким образом, ОДЗ уравнения: $x$ может быть любым числом, кроме $0$ и $2$.
Теперь приведем все дроби в уравнении к общему знаменателю. Разложим на множители знаменатель в правой части: $x^2 - 2x = x(x-2)$. Этот знаменатель является общим для всех дробей.
Домножим каждую часть уравнения на общий знаменатель $x(x-2)$, чтобы избавиться от дробей. Это преобразование будет равносильным в рамках ОДЗ.
$\frac{6 \cdot x(x-2)}{x-2} - \frac{(x+3) \cdot x(x-2)}{x} = \frac{(x+6) \cdot x(x-2)}{x(x-2)}$
После сокращения одинаковых множителей в числителях и знаменателях получим целое уравнение:
$6x - (x+3)(x-2) = x+6$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$6x - (x^2 - 2x + 3x - 6) = x+6$
$6x - (x^2 + x - 6) = x+6$
$6x - x^2 - x + 6 = x+6$
Приведем подобные слагаемые:
$-x^2 + 5x + 6 = x+6$
Перенесем все члены в правую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$0 = x^2 - 5x + x + 6 - 6$
$x^2 - 4x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $x$ за скобку:
$x(x - 4) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:
$x_1 = 0$
$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$
Последний шаг — проверка найденных корней на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 2$).
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=0$ знаменатели дробей $\frac{x+3}{x}$ и $\frac{x+6}{x^2-2x}$ обращаются в ноль. Следовательно, $x_1 = 0$ — посторонний корень.
Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $4 \neq 0$ и $4 \neq 2$.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $4$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 369 расположенного на странице 94 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №369 (с. 94), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.