Номер 367, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 367, страница 93.
№367 (с. 93)
Условие. №367 (с. 93)
скриншот условия

Рис. 16
367. Задайте с помощью формул функцию, график которой изображён на рисунке 16.
Решение 1. №367 (с. 93)

Решение 2. №367 (с. 93)

Решение 3. №367 (с. 93)

Решение 5. №367 (с. 93)

Решение 6. №367 (с. 93)

Решение 7. №367 (с. 93)

Решение 8. №367 (с. 93)
364. 1) $\frac{y - x^2}{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:
$\begin{cases} y - x^2 = 0 \\ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \neq 0 \end{cases}$
Из первого уравнения получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.
Второе условие $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \neq 0$ означает, что точка $(x, y)$ не может совпадать с точкой $(1, 1)$. Выражение в левой части неравенства равно нулю только в том случае, когда $x-1=0$ и $y-1=0$ одновременно, то есть в точке $(1, 1)$.
Теперь нужно проверить, принадлежит ли точка $(1, 1)$ графику параболы $y = x^2$. Подставим $x = 1$ в уравнение параболы: $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит параболе.
Следовательно, график исходного уравнения — это парабола $y = x^2$ с одной "выколотой" (исключенной) точкой $(1, 1)$.
Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(1, 1)$.
364. 2) $\frac{y - x^2}{y - x} = 0$
Аналогично предыдущему пункту, данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} y - x^2 = 0 \\ y - x \neq 0 \end{cases}$
Первое уравнение $y = x^2$ задает параболу.
Второе условие $y \neq x$ означает, что из графика параболы нужно исключить все точки, которые также лежат на прямой $y=x$.
Найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = x$. Для этого решим систему уравнений:
$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x \end{cases}$
Приравняв правые части, получим: $x^2 = x$.
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0^2 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1^2 = 1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.
Таким образом, из графика параболы $y = x^2$ необходимо исключить две точки: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотыми точками $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
365. Постройте график уравнения: $\frac{x^2 - y}{(x + 2)^2 + (y - 4)^2} = 0$
Уравнение представляет собой дробь, равную нулю. Это возможно только если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Запишем это в виде системы:
$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ (x + 2)^2 + (y - 4)^2 \neq 0 \end{cases}$
Из первого уравнения $x^2 - y = 0$ получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями вверх.
Второе условие $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 \neq 0$ означает, что точка графика не может совпадать с точкой, в которой знаменатель обращается в ноль. Это происходит только при $x+2=0$ и $y-4=0$, то есть в точке $(-2, 4)$.
Проверим, лежит ли точка $(-2, 4)$ на параболе $y = x^2$. Подставим $x = -2$ в уравнение параболы: $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$ действительно лежит на параболе.
Значит, график исходного уравнения — это парабола $y = x^2$, из которой исключена точка $(-2, 4)$.
Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(-2, 4)$.
367. Задайте с помощью формул функцию, график которой изображён на рисунке 16.
График, изображенный на рисунке 16, состоит из двух частей, которые стыкуются в точке $(0, 1)$. Это график кусочно-заданной функции. Определим формулу для каждой части.
1. Часть графика при $x \ge 0$.
Эта часть графика является параболой с вершиной в точке $(1, 0)$. Уравнение такой параболы в общем виде: $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины. Подставив $(1, 0)$, получаем $y = a(x - 1)^2$.
Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся еще одной точкой на параболе, например, $(0, 1)$. Подставим ее координаты в уравнение:
$1 = a(0 - 1)^2$
$1 = a(-1)^2$
$1 = a$
Таким образом, для $x \ge 0$ функция задается формулой $y = (x - 1)^2$.
2. Часть графика при $x < 0$.
Эта часть графика является прямой линией. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения с осью OY.
Из графика видно, что прямая пересекает ось OY в точке $(0, 1)$, следовательно, $b = 1$. Уравнение принимает вид $y = kx + 1$.
Для нахождения коэффициента $k$ возьмем еще одну точку на прямой, например, $(-1, 2)$. Подставим ее координаты:
$2 = k(-1) + 1$
$2 = -k + 1$
$k = -1$
Значит, для $x < 0$ функция задается формулой $y = -x + 1$.
Объединение в кусочную функцию.
Объединяя обе части, получаем формулу для функции:
$y = \begin{cases} -x + 1, & \text{если } x < 0 \\ (x - 1)^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$
Ответ: $y = \begin{cases} -x + 1, & \text{если } x < 0 \\ (x - 1)^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 367 расположенного на странице 93 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №367 (с. 93), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.