Номер 367, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Упражнения - номер 367, страница 93.

Условие.

Рис. 16

367. Задайте с помощью формул функцию, график которой изображён на рисунке 16.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

364. 1) $\frac{y - x^2}{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} y - x^2 = 0 \\ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

Второе условие $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \neq 0$ означает, что точка $(x, y)$ не может совпадать с точкой $(1, 1)$. Выражение в левой части неравенства равно нулю только в том случае, когда $x-1=0$ и $y-1=0$ одновременно, то есть в точке $(1, 1)$.

Теперь нужно проверить, принадлежит ли точка $(1, 1)$ графику параболы $y = x^2$. Подставим $x = 1$ в уравнение параболы: $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит параболе.

Следовательно, график исходного уравнения — это парабола $y = x^2$ с одной "выколотой" (исключенной) точкой $(1, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(1, 1)$.

364. 2) $\frac{y - x^2}{y - x} = 0$

Аналогично предыдущему пункту, данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y - x^2 = 0 \\ y - x \neq 0 \end{cases}$

Первое уравнение $y = x^2$ задает параболу.

Второе условие $y \neq x$ означает, что из графика параболы нужно исключить все точки, которые также лежат на прямой $y=x$.

Найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = x$. Для этого решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x \end{cases}$

Приравняв правые части, получим: $x^2 = x$.

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0^2 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1^2 = 1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.

Таким образом, из графика параболы $y = x^2$ необходимо исключить две точки: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотыми точками $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

365. Постройте график уравнения: $\frac{x^2 - y}{(x + 2)^2 + (y - 4)^2} = 0$

Уравнение представляет собой дробь, равную нулю. Это возможно только если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ (x + 2)^2 + (y - 4)^2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $x^2 - y = 0$ получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями вверх.

Второе условие $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 \neq 0$ означает, что точка графика не может совпадать с точкой, в которой знаменатель обращается в ноль. Это происходит только при $x+2=0$ и $y-4=0$, то есть в точке $(-2, 4)$.

Проверим, лежит ли точка $(-2, 4)$ на параболе $y = x^2$. Подставим $x = -2$ в уравнение параболы: $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$ действительно лежит на параболе.

Значит, график исходного уравнения — это парабола $y = x^2$, из которой исключена точка $(-2, 4)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(-2, 4)$.

367. Задайте с помощью формул функцию, график которой изображён на рисунке 16.

График, изображенный на рисунке 16, состоит из двух частей, которые стыкуются в точке $(0, 1)$. Это график кусочно-заданной функции. Определим формулу для каждой части.

1. Часть графика при $x \ge 0$.

Эта часть графика является параболой с вершиной в точке $(1, 0)$. Уравнение такой параболы в общем виде: $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины. Подставив $(1, 0)$, получаем $y = a(x - 1)^2$.

Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся еще одной точкой на параболе, например, $(0, 1)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$1 = a(0 - 1)^2$

$1 = a(-1)^2$

$1 = a$

Таким образом, для $x \ge 0$ функция задается формулой $y = (x - 1)^2$.

2. Часть графика при $x < 0$.

Эта часть графика является прямой линией. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения с осью OY.

Из графика видно, что прямая пересекает ось OY в точке $(0, 1)$, следовательно, $b = 1$. Уравнение принимает вид $y = kx + 1$.

Для нахождения коэффициента $k$ возьмем еще одну точку на прямой, например, $(-1, 2)$. Подставим ее координаты:

$2 = k(-1) + 1$

$2 = -k + 1$

$k = -1$

Значит, для $x < 0$ функция задается формулой $y = -x + 1$.

Объединение в кусочную функцию.

Объединяя обе части, получаем формулу для функции:

$y = \begin{cases} -x + 1, & \text{если } x < 0 \\ (x - 1)^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} -x + 1, & \text{если } x < 0 \\ (x - 1)^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$