Номер 365, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Упражнения - номер 365, страница 93.

Условие.

365. Постройте график уравнения:

$\frac{x^2 - y}{(x+2)^2 + (y-4)^2} = 0$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Данное уравнение представляет собой дробь, которая равна нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Это можно записать в виде системы условий:

$ \begin{cases} x^2 - y = 0 \\ (x+2)^2 + (y-4)^2 \neq 0 \end{cases} $

1. Анализ числителя.

Рассмотрим первое уравнение системы: $x^2 - y = 0$.

Выразим $y$:

$y = x^2$

Это уравнение является уравнением параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2. Анализ знаменателя (Область допустимых значений).

Рассмотрим второе условие системы: $(x+2)^2 + (y-4)^2 \neq 0$.

Сумма двух квадратов равна нулю только в том случае, если оба выражения, возводимые в квадрат, равны нулю одновременно. То есть, знаменатель обращается в ноль при условии:

$ \begin{cases} x + 2 = 0 \\ y - 4 = 0 \end{cases} $

Решив эту систему, находим координаты точки, которую необходимо исключить из графика:

$ \begin{cases} x = -2 \\ y = 4 \end{cases} $

Таким образом, точка с координатами $(-2, 4)$ не может принадлежать графику исходного уравнения.

3. Построение графика.

Графиком уравнения является парабола $y=x^2$, но с одним ограничением: точка $(-2, 4)$ должна быть из нее исключена ("выколота").

Проверим, лежит ли точка $(-2, 4)$ на параболе $y = x^2$. Подставим $x = -2$ в уравнение параболы:

$y = (-2)^2 = 4$

Действительно, точка $(-2, 4)$ принадлежит параболе. Следовательно, чтобы построить искомый график, нужно:

1. Построить график параболы $y = x^2$. Для этого можно использовать характерные точки: вершина $(0, 0)$, а также точки $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, 4)$, $(-2, 4)$, $(3, 9)$, $(-3, 9)$.

2. Найти на параболе точку с координатами $(-2, 4)$ и отметить ее как "выколотую", то есть нарисовать на ее месте небольшой пустой кружок.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(-2, 4)$.