Номер 360, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Упражнения - номер 360, страница 92.

Условие.

360. Дана функция $f(x) = \begin{cases} -\frac{6}{x}, & \text{если } x \le -1, \\ x^2, & \text{если } x > -1. \end{cases}$

1) Найдите $f(-12), f(-1), f(-0,9), f(3), f(0).$

2) Постройте график данной функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы найти значения функции $f(x)$ в заданных точках, необходимо определить, какому из двух промежутков принадлежит аргумент $x$, и подставить его в соответствующую формулу.

Дана функция: $f(x) = \begin{cases} -\frac{6}{x}, & \text{если } x \le -1 \\ x^2, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

• Для $x = -12$: поскольку $-12 \le -1$, используем первую формулу $f(x) = -\frac{6}{x}$.
  $f(-12) = -\frac{6}{-12} = \frac{1}{2} = 0.5$

• Для $x = -1$: поскольку $-1 \le -1$, используем первую формулу $f(x) = -\frac{6}{x}$.
  $f(-1) = -\frac{6}{-1} = 6$

• Для $x = -0.9$: поскольку $-0.9 > -1$, используем вторую формулу $f(x) = x^2$.
  $f(-0.9) = (-0.9)^2 = 0.81$

• Для $x = 3$: поскольку $3 > -1$, используем вторую формулу $f(x) = x^2$.
  $f(3) = 3^2 = 9$

• Для $x = 0$: поскольку $0 > -1$, используем вторую формулу $f(x) = x^2$.
  $f(0) = 0^2 = 0$

Ответ: $f(-12) = 0.5$; $f(-1) = 6$; $f(-0.9) = 0.81$; $f(3) = 9$; $f(0) = 0$.

2) Для построения графика данной функции нужно построить два графика на одной координатной плоскости, каждый на своем промежутке.

Первая часть графика: $y = -\frac{6}{x}$ при $x \le -1$.
Это ветвь гиперболы. Так как коэффициент $k = -6 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Нас интересует часть графика, где $x \le -1$, то есть часть ветви во II четверти. Составим таблицу значений для этой части графика:

$x$	$y = -6/x$
-1	6
-2	3
-3	2
-6	1

Точка $(-1, 6)$ является крайней точкой этой ветви и принадлежит графику (на графике она будет закрашенной).

Вторая часть графика: $y = x^2$ при $x > -1$.
Это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Нас интересует часть графика, где $x > -1$. Составим таблицу значений для этой части графика, включая граничную точку:

$x$	$y = x^2$
-1 (граница)	1
0	0
1	1
2	4

Точка $(-1, 1)$ является начальной точкой для этой части графика, но она не принадлежит графику (на графике она будет "выколотой" или пустой), так как неравенство строгое ($x > -1$).

Построение:
На координатной плоскости строим ветвь гиперболы $y = -6/x$, начиная от закрашенной точки $(-1, 6)$ и продолжая влево. Затем строим часть параболы $y=x^2$, начиная от выколотой (пустой) точки $(-1, 1)$ и продолжая вправо через начало координат.

Ответ: График функции состоит из двух частей: ветви гиперболы $y = -6/x$ при $x \le -1$ (с конечной точкой $(-1, 6)$) и части параболы $y = x^2$ при $x > -1$ (начинающейся с выколотой точки $(-1, 1)$). График представлен на изображении выше.