Номер 354, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Упражнения - номер 354, страница 92.

Условие.

354. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = -4x - 3$;

2) $x^2 - 3x + 5 = 0$;

3) $x^2 + \frac{1}{x} = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для графического решения уравнения $x^2 = -4x - 3$ необходимо найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = -4x - 3$.

Построим эти графики в одной системе координат:

1. График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

2. График функции $y = -4x - 3$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например, (0, -3) и (-1, 1).

Нанеся графики на координатную плоскость, можно увидеть, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек — (-3, 9) и (-1, 1). Абсциссы этих точек, $x = -3$ и $x = -1$, являются решениями уравнения.

Проверка:
При $x = -3$: левая часть $x^2 = (-3)^2 = 9$; правая часть $-4x - 3 = -4(-3) - 3 = 12 - 3 = 9$. Равенство $9 = 9$ верно.
При $x = -1$: левая часть $x^2 = (-1)^2 = 1$; правая часть $-4x - 3 = -4(-1) - 3 = 4 - 3 = 1$. Равенство $1 = 1$ верно.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -1$.

2) Преобразуем уравнение $x^2 - 3x + 5 = 0$ к виду $x^2 = 3x - 5$. Решим его графически, найдя точки пересечения графиков $y = x^2$ и $y = 3x - 5$.

1. График $y = x^2$ — стандартная парабола.

2. График $y = 3x - 5$ — прямая, проходящая через точки (1, -2) и (2, 1).

При построении графиков в одной системе координат видно, что парабола и прямая не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Это означает, что исходное уравнение не имеет действительных решений.

Это также можно проверить, найдя вершину параболы $y = x^2 - 3x + 5$. Координата $x$ вершины: $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$. Координата $y$ вершины: $y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) + 5 = 2.25 - 4.5 + 5 = 2.75$. Так как вершина параболы (1.5, 2.75) находится выше оси абсцисс, а ветви направлены вверх, парабола не пересекает ось $x$.

Ответ: нет решений.

3) Представим уравнение $x^2 + \frac{1}{x} = 0$ в виде $x^2 = -\frac{1}{x}$. Решениями будут абсциссы точек пересечения графиков $y = x^2$ и $y = -\frac{1}{x}$. Заметим, что область определения уравнения — $x \neq 0$.

1. $y = x^2$ — парабола с вершиной в (0, 0), значения которой всегда неотрицательны ($y \ge 0$).

2. $y = -\frac{1}{x}$ — гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

Пересечение графиков возможно только там, где обе функции имеют одинаковый знак. Функция $y=x^2$ всегда неотрицательна. Функция $y = -\frac{1}{x}$ положительна при $x < 0$ и отрицательна при $x > 0$. Следовательно, пересечение возможно только при $x < 0$.

Построив графики, находим одну точку пересечения с координатами (-1, 1). Это можно проверить подстановкой: $y = (-1)^2 = 1$ и $y = -\frac{1}{-1} = 1$.

Абсцисса этой точки $x=-1$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $x = -1$.