Номер 358, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Функция у = х² и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 358, страница 92.

Условие.

358. Дана функция $f(x) = \begin{cases} 2x + 3, \text{ если } x \le -1 \\ x^2, \text{ если } -1 < x < 2 \\ 4, \text{ если } x \ge 2 \end{cases}$

1) Найтите $f(-4)$, $f(-0,3)$, $f(1,9)$, $f(3)$, $f(-1)$, $f(2)$.

2) Постройте график данной функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Найдите f(-4), f(-0,3), f(1,9), f(3), f(-1), f(2).

Для нахождения значений функции необходимо для каждого значения аргумента $x$ определить, какому из трех заданных интервалов он принадлежит, и затем использовать соответствующую этому интервалу формулу.

Вычисление $f(-4)$:
Значение $x = -4$ удовлетворяет условию $x \le -1$. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = 2x + 3$.
$f(-4) = 2 \cdot (-4) + 3 = -8 + 3 = -5$.

Вычисление $f(-0,3)$:
Значение $x = -0,3$ удовлетворяет условию $-1 < x < 2$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = x^2$.
$f(-0,3) = (-0,3)^2 = 0,09$.

Вычисление $f(1,9)$:
Значение $x = 1,9$ удовлетворяет условию $-1 < x < 2$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = x^2$.
$f(1,9) = (1,9)^2 = 3,61$.

Вычисление $f(3)$:
Значение $x = 3$ удовлетворяет условию $x \ge 2$. Следовательно, используем третью формулу: $f(x) = 4$.
$f(3) = 4$.

Вычисление $f(-1)$:
Значение $x = -1$ удовлетворяет условию $x \le -1$. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = 2x + 3$.
$f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$.

Вычисление $f(2)$:
Значение $x = 2$ удовлетворяет условию $x \ge 2$. Следовательно, используем третью формулу: $f(x) = 4$.
$f(2) = 4$.

Ответ: $f(-4) = -5$; $f(-0,3) = 0,09$; $f(1,9) = 3,61$; $f(3) = 4$; $f(-1) = 1$; $f(2) = 4$.

2) Постройте график данной функции.

График данной кусочно-заданной функции строится из трех частей, каждая на своем интервале.

Часть 1: $x \le -1$
На этом промежутке функция задается формулой $y = 2x + 3$. Ее график — это луч. Для построения найдем две точки.
Начальная точка луча соответствует $x = -1$. Вычисляем $y = 2(-1) + 3 = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику (на чертеже изображается закрашенной точкой), так как неравенство $x \le -1$ нестрогое.
Возьмем еще одну точку из этого интервала, например, $x = -3$. Тогда $y = 2(-3) + 3 = -3$. Точка $(-3, -3)$.
Чертим луч, проходящий через точки $(-1, 1)$ и $(-3, -3)$.

Часть 2: $-1 < x < 2$
На этом интервале функция задается формулой $y = x^2$. Ее график — это часть параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0, 0)$.
Найдем значения на границах интервала. При $x \to -1$, $y \to (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$ является граничной, но не включается в эту часть графика (изображается выколотой точкой), так как неравенство строгое.
При $x \to 2$, $y \to 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$ также является выколотой.
Вершина параболы $(0,0)$ принадлежит этому интервалу. Также можно взять точку $x=1$, $y=1^2=1$.
Чертим дугу параболы, соединяющую выколотые точки $(-1, 1)$ и $(2, 4)$ и проходящую через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Часть 3: $x \ge 2$
На этом промежутке функция задается формулой $y = 4$. Ее график — это горизонтальный луч.
Начало луча находится в точке с абсциссой $x = 2$. Ордината этой точки $y = 4$. Точка $(2, 4)$ принадлежит графику (изображается закрашенной точкой), так как неравенство $x \ge 2$ нестрогое.
Чертим луч, выходящий из точки $(2, 4)$ и идущий вправо параллельно оси абсцисс.

Объединяя все три части на одной координатной плоскости, получаем график функции $f(x)$. В точках "стыковки" $x=-1$ и $x=2$ разрывов нет, так как выколотая точка одного участка "закрашивается" конечной точкой другого. Таким образом, функция непрерывна на всей числовой прямой.

Ответ: График функции представляет собой объединение трех частей: луча $y=2x+3$ на интервале $(-\infty, -1]$, дуги параболы $y=x^2$ на интервале $(-1, 2)$ и горизонтального луча $y=4$ на интервале $[2, +\infty)$.