Страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

389. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{16 + 9}$;

2) $\sqrt{16} + \sqrt{9}$;

3) $\sqrt{36} - \sqrt{49}$;

4) $\sqrt{36 \cdot 49}$;

5) $5\sqrt{4} - \sqrt{25}$;

6) $\sqrt{0,81} + \sqrt{0,01}$;

7) $\frac{1}{3}\sqrt{0,09} - 2$;

8) $-2\sqrt{0,16} + 0,7$;

9) $(\sqrt{13})^2 - 3 \cdot (\sqrt{8})^2$;

10) $\frac{1}{6} \cdot (\sqrt{18})^2 - (\frac{1}{2}\sqrt{24})^2$;

11) $50 \cdot (-\frac{1}{5}\sqrt{2})^2$;

12) $\sqrt{4 \cdot 5^2 - 6^2}$.

1) Сначала необходимо выполнить сложение под знаком корня, а затем извлечь корень из полученного результата.
$\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

2) В данном выражении сначала извлекаются квадратные корни из каждого числа, а затем выполняется сложение полученных значений.
$\sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$.
Ответ: 7

3) Сначала извлекаем квадратные корни из каждого числа, а после выполняем вычитание.
$\sqrt{36} - \sqrt{49} = 6 - 7 = -1$.
Ответ: -1

4) Извлекаем квадратные корни, а затем перемножаем полученные значения.
$\sqrt{36} \cdot \sqrt{49} = 6 \cdot 7 = 42$.
Ответ: 42

5) Вычисляем значения корней, затем выполняем умножение и вычитание в соответствии с порядком действий.
$5\sqrt{4} - \sqrt{25} = 5 \cdot 2 - 5 = 10 - 5 = 5$.
Ответ: 5

6) Находим квадратные корни из десятичных дробей и складываем их.
$\sqrt{0,81} + \sqrt{0,01} = 0,9 + 0,1 = 1$.
Ответ: 1

7) Сначала вычисляем корень, затем выполняем умножение и вычитание.
$\frac{1}{3}\sqrt{0,09} - 2 = \frac{1}{3} \cdot 0,3 - 2 = 0,1 - 2 = -1,9$.
Ответ: -1,9

8) Вычисляем значение корня, умножаем его на -2, а затем прибавляем 0,7.
$-2\sqrt{0,16} + 0,7 = -2 \cdot 0,4 + 0,7 = -0,8 + 0,7 = -0,1$.
Ответ: -0,1

9) Используем свойство $(\sqrt{a})^2 = a$. Возводим корни в квадрат, затем выполняем умножение и вычитание.
$(\sqrt{13})^2 - 3 \cdot (\sqrt{8})^2 = 13 - 3 \cdot 8 = 13 - 24 = -11$.
Ответ: -11

10) Возводим выражения с корнями в квадрат, используя свойства степени $(ab)^2=a^2b^2$ и $(\sqrt{a})^2 = a$, а затем выполняем арифметические действия.
$\frac{1}{6} \cdot (\sqrt{18})^2 - (\frac{1}{2}\sqrt{24})^2 = \frac{1}{6} \cdot 18 - (\frac{1}{2})^2 \cdot (\sqrt{24})^2 = 3 - \frac{1}{4} \cdot 24 = 3 - 6 = -3$.
Ответ: -3

11) Сначала возводим в квадрат выражение в скобках. Помним, что минус при возведении в четную степень дает плюс.
$50 \cdot (-\frac{1}{5}\sqrt{2})^2 = 50 \cdot ((\frac{-1}{5})^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = 50 \cdot (\frac{1}{25} \cdot 2) = \frac{50 \cdot 2}{25} = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: 4

12) Выполняем действия под корнем в правильном порядке: возведение в степень, умножение, вычитание. Затем извлекаем корень.
$\sqrt{4 \cdot 5^2 - 6^2} = \sqrt{4 \cdot 25 - 36} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$.
Ответ: 8

390. Вычислите значение выражения:

1) $\sqrt{3+\sqrt{36}}$

2) $\sqrt{72-\sqrt{64}}$

3) $\sqrt{16} \cdot \sqrt{225}$

4) $\frac{1}{2}\sqrt{900} + 0,2\sqrt{1600}$

5) $(2\sqrt{6})^2 - 3(\sqrt{21})^2$

6) $\sqrt{10^2 - 4 \cdot 3^2}$

1) Вычислим значение выражения $\sqrt{3 + \sqrt{36}}$.
Сначала найдем значение внутреннего корня: $\sqrt{36} = 6$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\sqrt{3 + 6}$.
Сложим числа под корнем: $3 + 6 = 9$.
Получаем: $\sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3.

2) Вычислим значение выражения $\sqrt{72 - \sqrt{64}}$.
Сначала найдем значение внутреннего корня: $\sqrt{64} = 8$.
Подставим это значение в выражение: $\sqrt{72 - 8}$.
Вычтем числа под корнем: $72 - 8 = 64$.
Получаем: $\sqrt{64} = 8$.
Ответ: 8.

3) Вычислим значение выражения $\sqrt{16} \cdot \sqrt{225}$.
Найдем значения каждого корня по отдельности:
$\sqrt{16} = 4$
$\sqrt{225} = 15$
Теперь перемножим полученные значения: $4 \cdot 15 = 60$.
Ответ: 60.

4) Вычислим значение выражения $\frac{1}{2}\sqrt{900} + 0,2\sqrt{1600}$.
Найдем значения корней:
$\sqrt{900} = 30$
$\sqrt{1600} = 40$
Подставим значения в выражение: $\frac{1}{2} \cdot 30 + 0,2 \cdot 40$.
Выполним умножение:
$\frac{1}{2} \cdot 30 = 15$
$0,2 \cdot 40 = 8$
Сложим результаты: $15 + 8 = 23$.
Ответ: 23.

5) Вычислим значение выражения $(2\sqrt{6})^2 - 3(\sqrt{21})^2$.
Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство корня $(\sqrt{a})^2 = a$.
Для первого слагаемого: $(2\sqrt{6})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$.
Для второго слагаемого: $3(\sqrt{21})^2 = 3 \cdot 21 = 63$.
Выполним вычитание: $24 - 63 = -39$.
Ответ: -39.

6) Вычислим значение выражения $\sqrt{10^2 - 4 \cdot 3^2}$.
Сначала выполним действия под знаком корня, соблюдая порядок операций.
Возведение в степень: $10^2 = 100$ и $3^2 = 9$.
Подставим значения: $\sqrt{100 - 4 \cdot 9}$.
Умножение: $4 \cdot 9 = 36$.
Подставим значение: $\sqrt{100 - 36}$.
Вычитание: $100 - 36 = 64$.
Получаем: $\sqrt{64} = 8$.
Ответ: 8.

391. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{12+a}$, если $a=0,25$;

2) $\sqrt{7-3b}$, если $b=2$;

3) $\sqrt{2a-b}$, если $a=34, b=19$.

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{12+a}$ при $a = 0,25$, нужно подставить данное значение переменной в выражение и выполнить вычисления.
Подставляем $a = 0,25$:
$\sqrt{12 + 0,25} = \sqrt{12,25}$
Чтобы найти корень из $12,25$, можно заметить, что $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$. Поскольку число заканчивается на $25$, его корень, скорее всего, заканчивается на $5$. Проверим $3,5$:
$3,5^2 = 3,5 \cdot 3,5 = 12,25$
Следовательно, $\sqrt{12,25} = 3,5$.
Ответ: 3,5.

2) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{7 - 3b}$ при $b = 2$, подставим значение $b$ в выражение.
Подставляем $b = 2$:
$\sqrt{7 - 3 \cdot 2} = \sqrt{7 - 6} = \sqrt{1}$
Квадратный корень из 1 равен 1.
$\sqrt{1} = 1$
Ответ: 1.

3) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{2a - b}$ при $a = 34$ и $b = 19$, подставим значения переменных в выражение.
Подставляем $a = 34$ и $b = 19$:
$\sqrt{2 \cdot 34 - 19} = \sqrt{68 - 19}$
Вычисляем разность под корнем:
$68 - 19 = 49$
Теперь извлекаем корень:
$\sqrt{49} = 7$
Ответ: 7.

392. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{27 + m}$, если $m = 54$;

2) $\sqrt{m - 3n}$, если $m = 0,13, n = -0,04$.

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{27 + m}$, если $m = 54$, необходимо подставить значение переменной $m$ в данное выражение.

Подставляем $m = 54$:

$\sqrt{27 + 54}$

Сначала выполняем действие сложения под знаком корня:

$27 + 54 = 81$

Теперь необходимо извлечь квадратный корень из полученного числа:

$\sqrt{81} = 9$

Ответ: 9

2) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{m - 3n}$, если $m = 0,13$ и $n = -0,04$, подставим значения переменных $m$ и $n$ в выражение.

Подставляем $m = 0,13$ и $n = -0,04$:

$\sqrt{0,13 - 3 \cdot (-0,04)}$

Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение:

$3 \cdot (-0,04) = -0,12$

Теперь подставляем результат обратно в выражение под корнем. Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению:

$\sqrt{0,13 - (-0,12)} = \sqrt{0,13 + 0,12} = \sqrt{0,25}$

Далее извлекаем квадратный корень из полученного результата:

$\sqrt{0,25} = 0,5$

Ответ: 0,5

393. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} = 9;$

2) $\sqrt{x} = \frac{1}{4};$

3) $\sqrt{x} - 0,2 = 0;$

4) $\sqrt{x} + 7 = 0.$

1) Дано уравнение $\sqrt{x} = 9$.

Чтобы найти значение $x$, необходимо избавиться от знака квадратного корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат. Это является равносильным преобразованием, так как обе части уравнения неотрицательны.

$(\sqrt{x})^2 = 9^2$

$x = 81$

Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$\sqrt{81} = 9$

$9 = 9$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: $81$

2) Дано уравнение $\sqrt{x} = \frac{1}{4}$.

Аналогично предыдущему пункту, возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны.

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{4})^2$

$x = \frac{1^2}{4^2}$

$x = \frac{1}{16}$

Проверка:

$\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Равенство верное.

Ответ: $\frac{1}{16}$

3) Дано уравнение $\sqrt{x} - 0,2 = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, изолировав радикал в левой части. Для этого перенесем $-0,2$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный.

$\sqrt{x} = 0,2$

Теперь, когда уравнение приведено к стандартному виду, возведем обе его части в квадрат.

$(\sqrt{x})^2 = (0,2)^2$

$x = 0,04$

Проверка:

$\sqrt{0,04} - 0,2 = 0$

$0,2 - 0,2 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное.

Ответ: $0,04$

4) Дано уравнение $\sqrt{x} + 7 = 0$.

Преобразуем уравнение, перенеся $7$ в правую часть:

$\sqrt{x} = -7$

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) из любого неотрицательного числа $x$ есть число неотрицательное. То есть, $\sqrt{x} \ge 0$.

В полученном уравнении $\sqrt{x} = -7$ левая часть ($\sqrt{x}$) не может быть отрицательной, а правая часть ($-7$) является отрицательным числом. Неотрицательное число не может равняться отрицательному числу.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет

394. Решите уравнение:

1) $ \sqrt{x} = 20; $

2) $ \sqrt{x} = -16; $

3) $ \sqrt{x} - \frac{2}{3} = 0. $

1) Дано уравнение $\sqrt{x} = 20$.

Чтобы найти значение переменной $x$, необходимо избавиться от знака квадратного корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат.

$(\sqrt{x})^2 = 20^2$

$x = 400$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\sqrt{400} = 20$

$20 = 20$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: $400$

2) Дано уравнение $\sqrt{x} = -16$.

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ — это неотрицательное число. То есть, для любого допустимого значения $x$ (где $x \ge 0$) должно выполняться условие $\sqrt{x} \ge 0$.

В данном уравнении значение квадратного корня приравнивается к отрицательному числу ($-16$). Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: корней нет

3) Дано уравнение $\sqrt{x - \frac{2}{3}} = 0$.

Квадратный корень равен нулю тогда и только тогда, когда выражение под корнем равно нулю. Также можно решить это уравнение, возведя обе его части в квадрат.

$(\sqrt{x - \frac{2}{3}})^2 = 0^2$

$x - \frac{2}{3} = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение, перенеся дробь в правую часть:

$x = \frac{2}{3}$

Проверим, подставив найденный корень в исходное уравнение:

$\sqrt{\frac{2}{3} - \frac{2}{3}} = \sqrt{0} = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $\frac{2}{3}$

1) $\sqrt{x} = 20$;

2) $\sqrt{x} = 10$;

3) $\sqrt[3]{x} = 5$.

395. Решите уравнение:

1) $x^2 = 25$;

2) $x^2 = 0,49$;

3) $x^2 = 3$;

4) $x^2 = -25$.

1) Решим уравнение $x^2 = 25$.

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Для любого положительного числа $a$ уравнение $x^2 = a$ имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.

$x = \pm\sqrt{25}$

Поскольку $\sqrt{25} = 5$, получаем два решения:

$x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Ответ: $-5; 5$.

2) Решим уравнение $x^2 = 0,49$.

Данное уравнение решается аналогично предыдущему. Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{0,49}$

Так как $0,7^2 = 0,49$, то $\sqrt{0,49} = 0,7$.

Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 0,7$ и $x_2 = -0,7$.

Ответ: $-0,7; 0,7$.

3) Решим уравнение $x^2 = 3$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:

$x = \pm\sqrt{3}$

Число 3 не является полным квадратом рационального числа, поэтому $\sqrt{3}$ — это иррациональное число. В таком виде корни и остаются в ответе.

Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

4) Решим уравнение $x^2 = -25$.

Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$.

В данном уравнении левая часть ($x^2$) должна быть равна отрицательному числу $-25$. Такое равенство невозможно в множестве действительных чисел.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

396. Решите уравнение:

1) $x^2 = 100;$

2) $x^2 = 0,81;$

3) $x^2 = 7;$

4) $x^2 = 3,6.$

1) Дано уравнение $x^2 = 100$. Это неполное квадратное уравнение вида $x^2 = a$, где $a > 0$. Такие уравнения всегда имеют два действительных корня, которые являются противоположными числами. Для нахождения корней необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения.
$x = \pm\sqrt{100}$
Поскольку $10 \cdot 10 = 100$, то $\sqrt{100} = 10$.
Таким образом, уравнение имеет два корня:
$x_1 = 10$
$x_2 = -10$
Ответ: $x_1 = 10, x_2 = -10$.

2) Дано уравнение $x^2 = 0,81$. Для его решения извлекаем квадратный корень из обеих частей.
$x = \pm\sqrt{0,81}$
Поскольку $0,9 \cdot 0,9 = 0,81$, то $\sqrt{0,81} = 0,9$.
Таким образом, корни уравнения:
$x_1 = 0,9$
$x_2 = -0,9$
Ответ: $x_1 = 0,9, x_2 = -0,9$.

3) Дано уравнение $x^2 = 7$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x = \pm\sqrt{7}$
Число 7 не является полным квадратом, поэтому корень из 7 является иррациональным числом. В таких случаях ответ записывается с использованием знака радикала (квадратного корня).
Таким образом, корни уравнения:
$x_1 = \sqrt{7}$
$x_2 = -\sqrt{7}$
Ответ: $x_1 = \sqrt{7}, x_2 = -\sqrt{7}$.

4) Дано уравнение $x^2 = 3,6$. По аналогии с предыдущими примерами, извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения.
$x = \pm\sqrt{3,6}$
Число 3,6 не является полным квадратом рационального числа, поэтому его корень — иррациональное число. Ответ записывается в виде выражения с радикалом.
Таким образом, корни уравнения:
$x_1 = \sqrt{3,6}$
$x_2 = -\sqrt{3,6}$
Ответ: $x_1 = \sqrt{3,6}, x_2 = -\sqrt{3,6}$.

397. Найдите значение выражения:

1) $-0,06 \cdot \sqrt{10000} + \frac{8}{\sqrt{256}} - 2,5\sqrt{3,24};$

2) $\sqrt{64} \cdot \sqrt{6,25} + \sqrt{2^3} + 17;$

3) $\sqrt{1\frac{11}{25}} + 3\sqrt{7\frac{1}{9}} - 0,6\sqrt{3025};$

4) $\left(\frac{1}{5}\sqrt{75}\right)^2 + \sqrt{26^2 - 24^2};$

5) $(3\sqrt{8})^2 + (8\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{24})^2;$

6) $\sqrt{144} : \sqrt{0,04} - \sqrt{2,56} \cdot \sqrt{2500}.$

1) Для вычисления значения выражения $-0,06 \cdot \sqrt{10000} + \frac{8}{\sqrt{256}} - 2,5\sqrt{3,24}$ выполним действия по порядку.
Сначала вычислим значения квадратных корней:
$\sqrt{10000} = \sqrt{100^2} = 100$
$\sqrt{256} = \sqrt{16^2} = 16$
$\sqrt{3,24} = \sqrt{\frac{324}{100}} = \frac{\sqrt{324}}{\sqrt{100}} = \frac{18}{10} = 1,8$
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$-0,06 \cdot 100 + \frac{8}{16} - 2,5 \cdot 1,8$
Выполним умножение и деление:
$-0,06 \cdot 100 = -6$
$\frac{8}{16} = 0,5$
$2,5 \cdot 1,8 = 4,5$
Теперь выполним сложение и вычитание:
$-6 + 0,5 - 4,5 = -5,5 - 4,5 = -10$
Ответ: -10.

2) Для вычисления значения выражения $\sqrt{64} \cdot \sqrt{6,25} + \sqrt{2^3 + 17}$ выполним действия по порядку.
Сначала вычислим значения подкоренных выражений и корней:
$\sqrt{64} = 8$
$\sqrt{6,25} = \sqrt{\frac{625}{100}} = \frac{25}{10} = 2,5$
Сначала вычислим выражение под вторым корнем: $2^3 + 17 = 8 + 17 = 25$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{25} = 5$.
Подставим значения в выражение:
$8 \cdot 2,5 + 5$
Выполним умножение, а затем сложение:
$20 + 5 = 25$
Ответ: 25.

3) Для вычисления значения выражения $\sqrt{1\frac{11}{25}} + 3\sqrt{7\frac{1}{9}} - 0,6\sqrt{3025}$ выполним действия по порядку.
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и вычислим корни:
$\sqrt{1\frac{11}{25}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 25 + 11}{25}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} = 1,2$
$\sqrt{7\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{7 \cdot 9 + 1}{9}} = \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3}$
$\sqrt{3025} = 55$, так как $55^2 = 3025$.
Подставим значения в выражение:
$\frac{6}{5} + 3 \cdot \frac{8}{3} - 0,6 \cdot 55$
Выполним умножение:
$3 \cdot \frac{8}{3} = 8$
$0,6 \cdot 55 = \frac{6}{10} \cdot 55 = \frac{3}{5} \cdot 55 = 3 \cdot 11 = 33$
Теперь выполним сложение и вычитание:
$1,2 + 8 - 33 = 9,2 - 33 = -23,8$
Ответ: -23,8.

4) Для вычисления значения выражения $(\frac{1}{5}\sqrt{75})^2 + \sqrt{26^2 - 24^2}$ вычислим каждое слагаемое отдельно.
Первое слагаемое: $(\frac{1}{5}\sqrt{75})^2$. Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:
$(\frac{1}{5})^2 \cdot (\sqrt{75})^2 = \frac{1}{25} \cdot 75 = 3$
Второе слагаемое: $\sqrt{26^2 - 24^2}$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\sqrt{(26-24)(26+24)} = \sqrt{2 \cdot 50} = \sqrt{100} = 10$
Сложим полученные результаты:
$3 + 10 = 13$
Ответ: 13.

5) Для вычисления значения выражения $(3\sqrt{8})^2 + (8\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{24})^2$ возведем в квадрат каждое из выражений.
$(3\sqrt{8})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{8})^2 = 9 \cdot 8 = 72$
$(8\sqrt{3})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192$
$2(\sqrt{24})^2 = 2 \cdot 24 = 48$
Подставим полученные значения в выражение:
$72 + 192 - 48$
Выполним сложение и вычитание:
$72 + 192 = 264$
$264 - 48 = 216$
Ответ: 216.

6) Для вычисления значения выражения $\sqrt{144} : \sqrt{0,04} - \sqrt{2,56} \cdot \sqrt{2500}$ выполним действия по порядку.
Сначала вычислим значения квадратных корней:
$\sqrt{144} = 12$
$\sqrt{0,04} = 0,2$
$\sqrt{2,56} = 1,6$
$\sqrt{2500} = 50$
Подставим значения в выражение:
$12 : 0,2 - 1,6 \cdot 50$
Согласно порядку действий, сначала выполняем деление и умножение:
$12 : 0,2 = 120 : 2 = 60$
$1,6 \cdot 50 = 16 \cdot 5 = 80$
Теперь выполним вычитание:
$60 - 80 = -20$
Ответ: -20.