Страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

418. Дома на улице пронумерованы подряд числами от 1 до 24. Сколько раз цифра 1 встречается в нумерации домов?

Чтобы определить, сколько раз цифра 1 встречается в нумерации домов с 1 по 24, можно посчитать количество единиц в каждом разряде (единиц и десятков) по отдельности.

1. Сначала посчитаем, сколько раз цифра 1 встречается в разряде единиц. Это происходит в числах, которые оканчиваются на 1. В диапазоне от 1 до 24 это числа: 1, 11, 21. Всего 3 таких числа, следовательно, в разряде единиц цифра 1 встречается 3 раза.

2. Теперь посчитаем, сколько раз цифра 1 встречается в разряде десятков. Это происходит в числах, которые начинаются с 1. В заданном диапазоне это все числа от 10 до 19: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Таких чисел ровно 10, значит, в разряде десятков цифра 1 встречается 10 раз.

Для получения общего количества необходимо сложить результаты, полученные для каждого разряда:
$3$ (в разряде единиц) $+ 10$ (в разряде десятков) $= 13$.

Таким образом, в нумерации домов от 1 до 24 цифра 1 встречается 13 раз.

Ответ: 13

419. Упростите выражение:

$(\frac{a}{a^2 - 25} + \frac{5}{5 - a} + \frac{1}{a + 5}) : (\frac{28 - a^2}{a + 5} + a - 5)$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала упростим выражения в каждой из скобок, а затем выполним деление.

1. Упростим выражение в первой скобке: $ \left(\frac{a}{a^2 - 25} + \frac{5}{5 - a} + \frac{1}{a + 5}\right) $

Разложим знаменатель $ a^2 - 25 $ на множители по формуле разности квадратов: $ a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5) $. В знаменателе дроби $ \frac{5}{5 - a} $ вынесем знак минус за скобки, чтобы получить $ 5 - a = -(a - 5) $.

Теперь выражение в скобках можно переписать так:

$ \frac{a}{(a - 5)(a + 5)} - \frac{5}{a - 5} + \frac{1}{a + 5} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $ (a - 5)(a + 5) $:

$ \frac{a}{(a - 5)(a + 5)} - \frac{5(a + 5)}{(a - 5)(a + 5)} + \frac{1(a - 5)}{(a - 5)(a + 5)} $

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{a - 5(a + 5) + (a - 5)}{(a - 5)(a + 5)} = \frac{a - 5a - 25 + a - 5}{(a - 5)(a + 5)} = \frac{-3a - 30}{(a - 5)(a + 5)} $

Вынесем общий множитель -3 в числителе:

$ \frac{-3(a + 10)}{(a - 5)(a + 5)} $

2. Упростим выражение во второй скобке: $ \left(\frac{28 - a^2}{a + 5} + a - 5\right) $

Приведем слагаемые к общему знаменателю $ a + 5 $:

$ \frac{28 - a^2}{a + 5} + \frac{(a - 5)(a + 5)}{a + 5} $

Используем формулу разности квадратов $ (a - 5)(a + 5) = a^2 - 25 $ и сложим дроби:

$ \frac{(28 - a^2) + (a^2 - 25)}{a + 5} = \frac{28 - a^2 + a^2 - 25}{a + 5} = \frac{3}{a + 5} $

3. Выполним деление результатов

Теперь разделим упрощенное выражение из первой скобки на упрощенное выражение из второй:

$ \frac{-3(a + 10)}{(a - 5)(a + 5)} : \frac{3}{a + 5} $

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{-3(a + 10)}{(a - 5)(a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{3} $

Сократим общие множители $ 3 $ и $ (a + 5) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ a \neq \pm 5 $):

$ \frac{-\cancel{3}(a + 10)}{(a - 5)\cancel{(a + 5)}} \cdot \frac{\cancel{(a + 5)}}{\cancel{3}} = \frac{-(a + 10)}{a - 5} $

Полученное выражение можно записать как $ -\frac{a + 10}{a - 5} $ или $ \frac{a + 10}{5 - a} $.

Ответ: $ -\frac{a + 10}{a - 5} $

420. Рабочий получил 4700 р. аванса купюрами по 100 р. и по 500 р. Сколько было купюр каждого достоинства, если всего была 31 купюра?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.
Пусть $x$ — это количество купюр достоинством 100 рублей.
Пусть $y$ — это количество купюр достоинством 500 рублей.

Исходя из условия, что всего была 31 купюра, мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 31$

Общая сумма аванса составляет 4700 рублей. Сумма всех 100-рублевых купюр равна $100 \cdot x$, а сумма всех 500-рублевых купюр равна $500 \cdot y$. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$100x + 500y = 4700$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 31 \\ 100x + 500y = 4700 \end{cases}$

Для упрощения решения разделим второе уравнение на 100:

$x + 5y = 47$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} x + y = 31 \\ x + 5y = 47 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 31 - y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$(31 - y) + 5y = 47$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:

$31 + 4y = 47$

$4y = 47 - 31$

$4y = 16$

$y = \frac{16}{4}$

$y = 4$

Мы нашли, что было 4 купюры достоинством 500 рублей.

Теперь найдем количество 100-рублевых купюр, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x = 31 - y$

$x = 31 - 4$

$x = 27$

Таким образом, было 27 купюр достоинством 100 рублей.

Выполним проверку:
1. Общее количество купюр: $27 + 4 = 31$. Условие выполняется.
2. Общая сумма: $27 \cdot 100 + 4 \cdot 500 = 2700 + 2000 = 4700$ рублей. Условие выполняется.

Ответ: было 27 купюр по 100 рублей и 4 купюры по 500 рублей.

421. Найдите все трёхзначные натуральные числа $n$ такие, что сумма цифр числа $n$ в 11 раз меньше самого числа $n$.

Пусть искомое трёхзначное натуральное число $n$ состоит из цифр $a, b, c$. Тогда его можно записать в виде $n = 100a + 10b + c$. Поскольку число является трёхзначным, его первая цифра $a$ не может быть нулём, то есть $a \in \{1, 2, ..., 9\}$, а цифры $b$ и $c$ могут быть любыми от 0 до 9, то есть $b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Сумма цифр числа $n$ равна $S = a + b + c$.

Согласно условию задачи, сумма цифр числа $n$ в 11 раз меньше самого числа $n$. Это означает, что число $n$ в 11 раз больше суммы своих цифр. Запишем это в виде уравнения: $n = 11 \cdot S$

Подставим в это уравнение выражения для $n$ и $S$: $100a + 10b + c = 11 \cdot (a + b + c)$

Теперь раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы связать между собой цифры $a, b, c$: $100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c$

Перенесём все слагаемые с $a$ в левую часть, а слагаемые с $b$ и $c$ — в правую: $100a - 11a = 11b - 10b + 11c - c$ $89a = b + 10c$

Рассмотрим полученное равенство $89a = 10c + b$. В правой части стоит выражение $10c + b$. Поскольку $c$ и $b$ — это цифры от 0 до 9, максимальное значение этого выражения достигается при $c=9$ и $b=9$: $10c + b \le 10 \cdot 9 + 9 = 99$

Следовательно, для левой части уравнения должно выполняться неравенство: $89a \le 99$

Отсюда найдем возможные значения для $a$: $a \le \frac{99}{89}$ $a \le 1.112...$

Так как $a$ — это первая цифра трёхзначного числа, $a$ должно быть целым числом от 1 до 9. Единственное целое значение, удовлетворяющее неравенству $a \le 1.112...$ и условию $a \ge 1$, это $a=1$.

Мы однозначно определили первую цифру числа. Теперь подставим значение $a=1$ в наше уравнение $89a = 10c + b$: $89 \cdot 1 = 10c + b$ $89 = 10c + b$

Это уравнение показывает, что число 89 нужно представить в виде суммы десятков ($10c$) и единиц ($b$). Для числа 89 цифра десятков равна 8, а цифра единиц — 9. Следовательно, $c=8$ и $b=9$. Оба значения являются допустимыми для цифр.

Таким образом, мы нашли единственную комбинацию цифр, удовлетворяющую условию: $a=1, b=9, c=8$. Искомое число $n$ равно 198.

Сделаем проверку. Число $n=198$. Сумма его цифр $S = 1 + 9 + 8 = 18$. Проверим, в 11 ли раз число меньше суммы его цифр: $\frac{n}{S} = \frac{198}{18} = 11$. Условие выполняется.

Ответ: 198.