Номер 419, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Упражнения - номер 419, страница 104.

Условие.

419. Упростите выражение:

$(\frac{a}{a^2 - 25} + \frac{5}{5 - a} + \frac{1}{a + 5}) : (\frac{28 - a^2}{a + 5} + a - 5)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала упростим выражения в каждой из скобок, а затем выполним деление.

1. Упростим выражение в первой скобке: $ \left(\frac{a}{a^2 - 25} + \frac{5}{5 - a} + \frac{1}{a + 5}\right) $

Разложим знаменатель $ a^2 - 25 $ на множители по формуле разности квадратов: $ a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5) $. В знаменателе дроби $ \frac{5}{5 - a} $ вынесем знак минус за скобки, чтобы получить $ 5 - a = -(a - 5) $.

Теперь выражение в скобках можно переписать так:

$ \frac{a}{(a - 5)(a + 5)} - \frac{5}{a - 5} + \frac{1}{a + 5} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $ (a - 5)(a + 5) $:

$ \frac{a}{(a - 5)(a + 5)} - \frac{5(a + 5)}{(a - 5)(a + 5)} + \frac{1(a - 5)}{(a - 5)(a + 5)} $

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{a - 5(a + 5) + (a - 5)}{(a - 5)(a + 5)} = \frac{a - 5a - 25 + a - 5}{(a - 5)(a + 5)} = \frac{-3a - 30}{(a - 5)(a + 5)} $

Вынесем общий множитель -3 в числителе:

$ \frac{-3(a + 10)}{(a - 5)(a + 5)} $

2. Упростим выражение во второй скобке: $ \left(\frac{28 - a^2}{a + 5} + a - 5\right) $

Приведем слагаемые к общему знаменателю $ a + 5 $:

$ \frac{28 - a^2}{a + 5} + \frac{(a - 5)(a + 5)}{a + 5} $

Используем формулу разности квадратов $ (a - 5)(a + 5) = a^2 - 25 $ и сложим дроби:

$ \frac{(28 - a^2) + (a^2 - 25)}{a + 5} = \frac{28 - a^2 + a^2 - 25}{a + 5} = \frac{3}{a + 5} $

3. Выполним деление результатов

Теперь разделим упрощенное выражение из первой скобки на упрощенное выражение из второй:

$ \frac{-3(a + 10)}{(a - 5)(a + 5)} : \frac{3}{a + 5} $

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{-3(a + 10)}{(a - 5)(a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{3} $

Сократим общие множители $ 3 $ и $ (a + 5) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ a \neq \pm 5 $):

$ \frac{-\cancel{3}(a + 10)}{(a - 5)\cancel{(a + 5)}} \cdot \frac{\cancel{(a + 5)}}{\cancel{3}} = \frac{-(a + 10)}{a - 5} $

Полученное выражение можно записать как $ -\frac{a + 10}{a - 5} $ или $ \frac{a + 10}{5 - a} $.

Ответ: $ -\frac{a + 10}{a - 5} $