Номер 5, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 13. Множество и его элементы. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 5, страница 107.

Условие.

5. Какие множества называют равными?

Решение 2.

Решение 8.

Два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Иными словами, каждый элемент первого множества должен принадлежать второму множеству, и наоборот, каждый элемент второго множества должен принадлежать первому.

При определении равенства множеств не имеют значения два аспекта:
1. Порядок элементов. Множество определяется своим составом, а не порядком, в котором его элементы записаны. Например, множества $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{3, 1, 2\}$ равны, так как содержат идентичный набор чисел.
2. Повторение элементов. В теории множеств каждый элемент считается уникальным. Если при записи множества какой-либо элемент повторяется, он все равно учитывается лишь один раз. Например, множество $C = \{a, b, c\}$ равно множеству $D = \{a, a, b, c, b\}$, поскольку фактически множество $D$ также состоит из элементов $a, b, c$.

Более формально, равенство двух множеств $A$ и $B$ определяется через понятие подмножества. Множество $A$ равно множеству $B$ тогда и только тогда, когда $A$ является подмножеством $B$ (то есть все элементы $A$ есть в $B$) и одновременно $B$ является подмножеством $A$ (все элементы $B$ есть в $A$).

На языке математики это записывается следующей формулой:
$A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)$

Пример:
Пусть даны множества $K$ — множество букв в слове "СПОРТ" и $L$ — множество букв в слове "ТРОПС".
Множество $K = \{С, П, О, Р, Т\}$.
Множество $L = \{Т, Р, О, П, С\}$.
Поскольку оба множества содержат одни и те же буквы, они равны: $K = L$.

Пример неравных множеств:
Множества $E = \{4, 8, 12\}$ и $F = \{4, 8, 16\}$ не равны ($E \neq F$), так как элемент $12$ принадлежит множеству $E$, но не принадлежит множеству $F$.

Ответ: Равными называют множества, которые состоят из одних и тех же элементов.