Номер 422, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Множество и его элементы. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 422, страница 107.

Условие.

422. Как называют множество точек угла, равноудалённых от его сторон?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Множество точек угла, равноудалённых от его сторон, называют биссектрисой этого угла.

Это утверждение является свойством биссектрисы угла, которое можно доказать.

Рассмотрим угол с вершиной в точке $O$ и сторонами-лучами $a$ и $b$. Пусть точка $M$ — любая точка внутри угла, которая равноудалена от его сторон. Расстояние от точки до луча измеряется по длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на луч.

Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MA$ на сторону $a$ и $MB$ на сторону $b$. Так как точка $M$ равноудалена от сторон угла, то длины этих перпендикуляров равны: $MA = MB$.

Теперь рассмотрим два образовавшихся прямоугольных треугольника: $ΔOAM$ и $ΔOBM$.

В этих треугольниках:

1. Гипотенуза $OM$ является общей.
2. Катеты $MA$ и $MB$ равны по условию ($MA = MB$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ΔOAM$ и $ΔOBM$ равны по признаку равенства по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Значит, $∠AOM = ∠BOM$. Это означает, что луч $OM$ делит исходный угол на два равных угла.

По определению, луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам, является биссектрисой этого угла. Таким образом, любая точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Справедливо и обратное утверждение: любая точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.

Ответ: Биссектриса угла.