Номер 7, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 7, страница 99.

Условие.

7. Какие значения может принимать подкоренное выражение?

Решение 2.

Решение 8.

Подкоренное выражение — это то, что находится под знаком корня (радикала). Множество допустимых значений для подкоренного выражения зависит от показателя корня.

1. Корень четной степени (квадратный корень $ \sqrt{\phantom{a}} $, корень четвертой степени $ \sqrt[4]{\phantom{a}} $, шестой $ \sqrt[6]{\phantom{a}} $ и т.д.).

В области действительных чисел корень четной степени можно извлечь только из неотрицательного числа. Это связано с тем, что любое действительное число, возведенное в четную степень, всегда дает неотрицательный результат (например, $ 5^2=25 $ и $ (-5)^2=25 $). Следовательно, подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Если подкоренное выражение обозначить как $A$, то для корня четной степени должно выполняться условие: $ A \ge 0 $ То есть, подкоренное выражение может быть нулем или любым положительным числом.

2. Корень нечетной степени (кубический корень $ \sqrt[3]{\phantom{a}} $, корень пятой степени $ \sqrt[5]{\phantom{a}} $ и т.д.).

Для корней нечетной степени ограничений нет. Подкоренное выражение может быть любым действительным числом: положительным, отрицательным или равным нулю. Это возможно потому, что нечетная степень отрицательного числа является отрицательной (например, $ (-3)^3 = -27 $, поэтому $ \sqrt[3]{-27} = -3 $).

В школьных заданиях, если показатель корня не указан, по умолчанию имеется в виду квадратный корень, то есть корень четной степени.

Ответ: Для корня четной степени (например, квадратного) подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Для корня нечетной степени подкоренное выражение может принимать любые действительные значения (быть положительным, отрицательным или нулем).