Номер 10, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 10, страница 99.

Условие.

10. Сколько корней имеет уравнение $x^2 = a$ при $a > 0$? Чему они равны?

Решение 2.

Решение 8.

Для ответа на данный вопрос рассмотрим уравнение $x^2 = a$ при условии, что $a > 0$, и проанализируем его решения.

Сколько корней имеет уравнение $x^2 = a$ при $a > 0$?

Чтобы определить количество корней, можно применить графический метод. Решения уравнения $x^2 = a$ являются абсциссами точек пересечения графиков двух функций: $y = x^2$ и $y = a$.

График функции $y = x^2$ — это парабола, вершина которой находится в начале координат, а ветви направлены вверх.

График функции $y = a$ при условии $a > 0$ — это горизонтальная прямая, которая расположена выше оси абсцисс (оси Ox).

Горизонтальная прямая $y=a$, где $a>0$, пересекает параболу $y=x^2$ в двух точках, которые симметричны относительно оси ординат (оси Oy). Каждая точка пересечения соответствует одному корню уравнения. Следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: Уравнение имеет два корня.

Чему они равны?

Чтобы найти значения корней уравнения $x^2 = a$, необходимо найти числа, квадрат которых равен $a$. Эта операция является извлечением квадратного корня.

Для любого положительного числа $a$ существуют два квадратных корня: один положительный, а другой отрицательный.

1. Положительный корень называется арифметическим квадратным корнем и обозначается как $\sqrt{a}$. Проверим, является ли он решением: $(\sqrt{a})^2 = a$. Это верно, значит $x_1 = \sqrt{a}$ — первый корень.

2. Отрицательный корень — это число, противоположное арифметическому корню, то есть $-\sqrt{a}$. Проверим его: $(-\sqrt{a})^2 = (-1)^2 \cdot (\sqrt{a})^2 = 1 \cdot a = a$. Это также верно, значит $x_2 = -\sqrt{a}$ — второй корень.

Ответ: Корни равны $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$.