Номер 381, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Упражнения - номер 381, страница 100.

Условие.

381. Имеет ли смысл выражение:

1) $\sqrt{2}$;

2) $-\sqrt{2}$;

3) $\sqrt{-2}$;

4) $\sqrt{(-2)^2}$;

5) $(\sqrt{-2})^2$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы определить, имеет ли смысл выражение, содержащее арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$), необходимо проверить значение подкоренного выражения ($a$). Арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел, то есть $a \ge 0$.

1) $\sqrt{2}$;

Подкоренное выражение равно 2. Так как $2 > 0$, то есть является положительным числом, выражение имеет смысл.
Ответ: да, имеет смысл.

2) $-\sqrt{2}$;

Это выражение представляет собой число, противоположное $\sqrt{2}$. Как мы установили в пункте 1, выражение $\sqrt{2}$ имеет смысл. Следовательно, и противоположное ему число $-\sqrt{2}$ также имеет смысл.
Ответ: да, имеет смысл.

3) $\sqrt{-2}$;

Подкоренное выражение равно -2. Так как $-2 < 0$, то есть является отрицательным числом, извлечь из него арифметический квадратный корень в области действительных чисел невозможно. Таким образом, выражение не имеет смысла.
Ответ: нет, не имеет смысла.

4) $\sqrt{(-2)^2}$;

Сначала необходимо вычислить значение подкоренного выражения. Под корнем находится $(-2)^2$.
$(-2)^2 = 4$.
Таким образом, исходное выражение эквивалентно $\sqrt{4}$. Так как подкоренное выражение 4 является положительным числом, то выражение имеет смысл. $\sqrt{4} = 2$.
Ответ: да, имеет смысл.

5) $(\sqrt{-2})^2$;

В этом выражении необходимо возвести в квадрат значение $\sqrt{-2}$. Однако, как мы выяснили в пункте 3, выражение $\sqrt{-2}$ не имеет смысла в области действительных чисел, поскольку подкоренное выражение отрицательно. Так как основание степени не определено, то и все выражение не имеет смысла.
Ответ: нет, не имеет смысла.