Страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

334. Решите графически систему уравнений $$\begin{cases} xy = 5, \\\\ y - x = 4. \end{cases}$$

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. Координаты этих точек и будут являться решениями системы.

Исходная система: $ \begin{cases} xy = 5, \\ y - x = 4. \end{cases} $

Построение графика уравнения $xy = 5$

Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{5}{x}$. Это уравнение обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=5 > 0$.

Составим таблицу значений для построения графика:

Построение графика уравнения $y - x = 4$

Выразим $y$ через $x$: $y = x + 4$. Это линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек.

Найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат:
Если $x=0$, то $y = 0 + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
Если $y=0$, то $0 = x + 4$, откуда $x=-4$. Точка $(-4, 0)$.

Нахождение решения

Построим графики функций $y = \frac{5}{x}$ и $y = x + 4$ в одной координатной плоскости. Графики пересекаются в двух точках. По графику определяем их координаты: $(1, 5)$ и $(-5, -1)$.

Для уверенности выполним проверку подстановкой найденных координат в оба уравнения системы.

Проверка для точки $(1, 5)$:
$xy = 1 \cdot 5 = 5$ (верно)
$y - x = 5 - 1 = 4$ (верно)

Проверка для точки $(-5, -1)$:
$xy = (-5) \cdot (-1) = 5$ (верно)
$y - x = -1 - (-5) = -1 + 5 = 4$ (верно)

Обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(1, 5)$, $(-5, -1)$.

335. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $ \begin{cases} xy = -1, \\ x + 3y = 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} xy = -1, \\ x - 3y = 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} xy = 6, \\ 3x - 2y = 6. \end{cases} $

1) Для того чтобы графически определить количество решений системы, необходимо построить графики функций, соответствующих каждому уравнению, и найти количество их точек пересечения.
Первое уравнение системы $xy = -1$ можно представить в виде функции $y = -1/x$. Графиком этой функции является гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.
Второе уравнение $x + 3y = 0$ можно представить в виде $y = -x/3$. Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат (0,0) с угловым коэффициентом $k=-1/3$. Эта прямая также расположена во II и IV координатных четвертях.
Так как прямая проходит через начало координат, а ветви гиперболы находятся в тех же четвертях и неограниченно приближаются к осям координат, прямая пересечет каждую из двух ветвей гиперболы. Таким образом, графики имеют две точки пересечения, что означает, что система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

2) Построим графики уравнений данной системы.
Первое уравнение $xy = -1$ задает гиперболу $y = -1/x$ с ветвями во II и IV координатных четвертях.
Второе уравнение $x - 3y = 0$ задает прямую $y = x/3$. Эта прямая проходит через начало координат и расположена в I и III координатных четвертях.
График гиперболы целиком лежит во II и IV четвертях, а график прямой (за исключением точки (0,0), которая не принадлежит гиперболе) — в I и III четвертях. Поскольку графики функций находятся в разных четвертях, они не имеют общих точек. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: 0 решений.

3) Построим графики уравнений системы.
Первое уравнение $xy = 6$ задает гиперболу $y = 6/x$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
Второе уравнение $3x - 2y = 6$ является линейным. Выразим $y$ через $x$: $2y = 3x - 6$, откуда $y = \frac{3}{2}x - 3$. Это прямая, которая пересекает ось OY в точке (0, -3) и ось OX в точке (2, 0). Прямая проходит через I, III и IV координатные четверти.
Поскольку и прямая, и гипербола имеют части в I и III четвертях, их графики могут пересекаться.
В I четверти ($x>0$): прямая $y = \frac{3}{2}x - 3$ возрастает, а гипербола $y=6/x$ убывает. Это гарантирует, что они пересекутся ровно в одной точке в этой четверти.
В III четверти ($x<0$): прямая $y = \frac{3}{2}x - 3$ также возрастает. При $x \to -\infty$ прямая уходит в $-\infty$, а гипербола стремится к 0. При $x \to 0^-$ прямая стремится к -3, а гипербола уходит в $-\infty$. Это гарантирует наличие одной точки пересечения и в этой четверти.
Таким образом, графики имеют две точки пересечения, следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

336. Определите графически количество решений системы уравнений

$\begin{cases} xy = -8, \\ 2x + 3y = 6. \end{cases}$

Чтобы определить количество решений системы уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти количество точек их пересечения.

1. Построение графика первого уравнения $xy = -8$

Выразим $y$ через $x$: $y = -\frac{8}{x}$

Это уравнение задает гиперболу, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях (так как произведение $xy$ отрицательно).

Составим таблицу значений для построения графика:

2. Построение графика второго уравнения $2x + 3y = 6$

Это линейное уравнение, его график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Выразим $y$ через $x$: $3y = 6 - 2x$ $y = 2 - \frac{2}{3}x$

Найдем координаты двух точек, например, точки пересечения с осями координат:

• Если $x=0$, то $y = 2 - \frac{2}{3} \cdot 0 = 2$. Получаем точку $(0; 2)$.
• Если $y=0$, то $0 = 2 - \frac{2}{3}x$, откуда $\frac{2}{3}x = 2$, и $x = 3$. Получаем точку $(3; 0)$.

3. Анализ графиков

Построим графики функций $y = -\frac{8}{x}$ и $y = 2 - \frac{2}{3}x$ в одной системе координат.

Прямая $y = 2 - \frac{2}{3}x$ проходит через II, I и IV координатные четверти. Ветви гиперболы $y = -\frac{8}{x}$ расположены во II и IV четвертях. Следовательно, прямая пересечет обе ветви гиперболы.

Каждую ветвь гиперболы прямая может пересечь только в одной точке. Таким образом, графики будут иметь две точки пересечения.

Количество точек пересечения графиков равно количеству решений системы уравнений.

Ответ: 2

337. Найдите координаты всех точек графика функции $y = \frac{64}{x}$, у которых абсцисса и ордината равны.

Дана функция $y = \frac{64}{x}$. Нам нужно найти координаты точек на графике этой функции, у которых абсцисса ($x$) и ордината ($y$) равны.

Условие равенства абсциссы и ординаты можно записать в виде уравнения: $y = x$.

Чтобы найти искомые точки, нужно подставить это условие в уравнение функции. Заменим $y$ на $x$ в исходном уравнении:
$x = \frac{64}{x}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Домножим обе части на $x$, учитывая, что $x \neq 0$ (что соответствует области определения функции):
$x \cdot x = 64$
$x^2 = 64$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных значения для $x$:
$x_1 = \sqrt{64} = 8$
$x_2 = -\sqrt{64} = -8$

Так как по условию $y = x$, то для каждого найденного значения $x$ соответствующее значение $y$ будет таким же.
При $x_1 = 8$, получаем $y_1 = 8$. Координаты первой точки: $(8, 8)$.
При $x_2 = -8$, получаем $y_2 = -8$. Координаты второй точки: $(-8, -8)$.

Ответ: $(8, 8)$ и $(-8, -8)$.

абсцисса и ордината равны.

338. Найдите координаты всех точек графика функции $y = -\frac{25}{x}$, у которых абсцисса и ордината – противоположные числа.

По условию задачи, мы ищем точки на графике функции $y = -\frac{25}{x}$, у которых абсцисса (координата $x$) и ордината (координата $y$) являются противоположными числами.

Математически условие "абсцисса и ордината — противоположные числа" записывается как $y = -x$.

Чтобы найти координаты искомых точек, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения функции и уравнения, выражающего условие задачи:

$ \begin{cases} y = -\frac{25}{x} \\ y = -x \end{cases} $

Поскольку левые части обоих уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части:

$-x = -\frac{25}{x}$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$x = \frac{25}{x}$

Далее, умножим обе части на $x$. Это допустимо, так как из вида функции $y = -\frac{25}{x}$ следует, что $x \neq 0$.

$x \cdot x = 25$

$x^2 = 25$

Это квадратное уравнение имеет два корня:

$x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных $x$, используя соотношение $y = -x$:

1. Для $x_1 = 5$, ордината будет $y_1 = -5$. Получаем точку $(5; -5)$.

2. Для $x_2 = -5$, ордината будет $y_2 = -(-5) = 5$. Получаем точку $(-5; 5)$.

Проверим, принадлежат ли эти точки графику исходной функции:

- Для точки $(5; -5)$: $-5 = -\frac{25}{5}$, что является верным равенством ($-5 = -5$).

- Для точки $(-5; 5)$: $5 = -\frac{25}{-5}$, что также является верным равенством ($5 = 5$).

Обе точки удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $(5; -5)$ и $(-5; 5)$.

339. Постройте график функции $y = \frac{6}{|x|}$.

Для построения графика функции $y = \frac{6}{|x|}$ необходимо раскрыть модуль в знаменателе. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Согласно определению модуля, $|x|$ равен $x$ при $x > 0$ и равен $-x$ при $x < 0$. Таким образом, заданную функцию можно представить в виде кусочной функции:

$y = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{6}{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Теперь построим график для каждого из двух случаев.

1. Построение для $x > 0$.
На промежутке $(0; +\infty)$ функция имеет вид $y = \frac{6}{x}$. Это стандартная обратная пропорциональность (гипербола), ветвь которой расположена в первой координатной четверти. Для построения этой ветви найдем координаты нескольких точек:
при $x=1$, $y=6$; (точка (1; 6))
при $x=2$, $y=3$; (точка (2; 3))
при $x=3$, $y=2$; (точка (3; 2))
при $x=6$, $y=1$; (точка (6; 1))

2. Построение для $x < 0$.
На промежутке $(-\infty; 0)$ функция имеет вид $y = \frac{6}{-x}$, что то же самое, что и $y = -\frac{6}{x}$. Это также гипербола, ветвь которой расположена во второй координатной четверти. Найдем координаты нескольких точек для этой ветви:
при $x=-1$, $y = \frac{6}{-(-1)} = 6$; (точка (-1; 6))
при $x=-2$, $y = \frac{6}{-(-2)} = 3$; (точка (-2; 3))
при $x=-3$, $y = \frac{6}{-(-3)} = 2$; (точка (-3; 2))
при $x=-6$, $y = \frac{6}{-(-6)} = 1$; (точка (-6; 1))

Также можно заметить, что исходная функция $y = \frac{6}{|x|}$ является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \frac{6}{|-x|} = \frac{6}{|x|} = y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY). Это подтверждает, что ветвь графика во второй четверти является зеркальным отражением ветви из первой четверти.

Соединяя полученные точки в каждой четверти плавными линиями, получаем итоговый график. Он состоит из двух ветвей, расположенных в первой и второй координатных четвертях, которые приближаются к осям координат, но не пересекают их. Оси OX и OY являются, соответственно, горизонтальной и вертикальной асимптотами графика.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{|x|}$ состоит из двух ветвей гиперболы. Первая ветвь расположена в первой координатной четверти и является частью графика $y = \frac{6}{x}$ при $x>0$. Вторая ветвь расположена во второй координатной четверти и является частью графика $y = -\frac{6}{x}$ при $x<0$. График симметричен относительно оси ординат (OY). Асимптотами графика являются оси координат OX и OY.

340. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x \le -1 \\ x+3, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} -2x+10, & \text{если } x \le 2 \\ \frac{12}{x}, & \text{если } 2 < x < 4 \\ 3, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$

1)

Функция задана двумя аналитическими выражениями на разных промежутках. Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.

а) На промежутке $x \le -1$ функция имеет вид $y = -\frac{2}{x}$. Графиком является часть гиперболы, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Нас интересует только часть графика во II четверти, где $x \le -1$.

Вычислим координаты нескольких точек для этой части графика:

• Если $x = -1$, то $y = -\frac{2}{-1} = 2$. Получаем точку $(-1; 2)$. Так как неравенство нестрогое ($x \le -1$), точка будет закрашенной.
• Если $x = -2$, то $y = -\frac{2}{-2} = 1$. Получаем точку $(-2; 1)$.
• Если $x = -4$, то $y = -\frac{2}{-4} = 0.5$. Получаем точку $(-4; 0.5)$.

б) На промежутке $x > -1$ функция имеет вид $y = x+3$. Это линейная функция, её график — прямая. Так как область определения — луч, то и график будет лучом.

Найдём координаты двух точек для построения луча:

• Найдём граничную точку. При $x = -1$, $y = -1 + 3 = 2$. Получаем точку $(-1; 2)$. Так как неравенство строгое ($x > -1$), точка будет "выколотой".
• Возьмём ещё одну точку, например, $x=0$, тогда $y = 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0; 3)$.

в) Совместим обе части на одной координатной плоскости. Первая часть графика (гипербола) заканчивается в точке $(-1; 2)$, и эта точка принадлежит графику. Вторая часть (луч) начинается в этой же точке $(-1; 2)$, но сама точка лучу не принадлежит. Поскольку закрашенная точка "закрывает" выколотую, график функции является непрерывным.

Ответ: График функции построен. Он состоит из части гиперболы $y = -2/x$ на луче $(-\infty; -1]$ и луча $y = x+3$ на интервале $(-1; +\infty)$, которые соединяются в точке $(-1; 2)$.

2)

Функция задана тремя аналитическими выражениями на разных промежутках. Построим график для каждого промежутка.

а) На промежутке $x \le 2$ функция имеет вид $y = -2x+10$. Это линейная функция, её график — луч.

Найдём координаты двух точек для построения луча:

• Граничная точка: при $x = 2$, $y = -2(2) + 10 = 6$. Точка $(2; 6)$ закрашенная, так как $x \le 2$.
• Дополнительная точка: при $x = 0$, $y = -2(0) + 10 = 10$. Точка $(0; 10)$.

б) На интервале $2 < x < 4$ функция имеет вид $y = \frac{12}{x}$. Это часть гиперболы, расположенная в I координатной четверти.

Вычислим координаты точек на границах интервала и одной промежуточной точки:

• При $x=2$, $y = \frac{12}{2} = 6$. Точка $(2; 6)$ выколотая, так как $x > 2$.
• При $x=4$, $y = \frac{12}{4} = 3$. Точка $(4; 3)$ выколотая, так как $x < 4$.
• При $x=3$, $y = \frac{12}{3} = 4$. Точка $(3; 4)$.

в) На промежутке $x \ge 4$ функция имеет вид $y = 3$. Это горизонтальный луч.

Найдём начальную точку луча:

• При $x=4$, $y=3$. Точка $(4; 3)$ закрашенная, так как $x \ge 4$.

г) Совместим все три части на одной координатной плоскости. Первая часть (луч) заканчивается в закрашенной точке $(2; 6)$. Вторая часть (гипербола) начинается в выколотой точке $(2; 6)$ и заканчивается в выколотой точке $(4; 3)$. Третья часть (горизонтальный луч) начинается в закрашенной точке $(4; 3)$. В точках $x=2$ и $x=4$ значения функций на границах совпадают. Закрашенные точки "закрывают" выколотые, поэтому график функции является непрерывной линией.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из луча $y = -2x+10$ на $(-\infty; 2]$, участка гиперболы $y = 12/x$ на $(2; 4)$ и горизонтального луча $y=3$ на $[4; +\infty)$.

341. Постройте график функции:

$y = \begin{cases} -\frac{4}{x}, & \text{если } x < -2, \\ 2, & \text{если } -2 \le x \le 2, \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x > 2. \end{cases}$

Для построения графика данной кусочной функции необходимо рассмотреть ее на каждом из трех заданных интервалов.

На этом промежутке функция задана формулой $y = -\frac{4}{x}$. Графиком является ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. Для ее построения найдем координаты нескольких точек: например, при $x = -4$ получаем $y = 1$, а при $x = -8$ получаем $y = 0.5$. На границе интервала, в точке $x = -2$, значение функции было бы $y = -\frac{4}{-2} = 2$. Так как неравенство строгое ($x < -2$), точка $(-2, 2)$ не принадлежит этой части графика, и на чертеже ее отмечают выколотой (пустым кружком).

На этом отрезке функция постоянна: $y = 2$. Графиком является горизонтальный отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(-2, 2)$ и $(2, 2)$. Поскольку неравенство нестрогое, обе граничные точки принадлежат графику и отмечаются закрашенными (сплошными) точками.

На этом промежутке функция задана формулой $y = \frac{4}{x}$. Графиком является ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Для ее построения найдем координаты нескольких точек: например, при $x = 4$ получаем $y = 1$, а при $x = 8$ получаем $y = 0.5$. На границе интервала, в точке $x = 2$, значение функции было бы $y = \frac{4}{2} = 2$. Так как неравенство строгое ($x > 2$), точка $(2, 2)$ также является выколотой.

Для получения итогового графика объединим все три части в одной системе координат. В точке $x=-2$ выколотая точка $(-2, 2)$ от первой части графика "заполняется" закрашенной точкой от второй части. Аналогично, в точке $x=2$ закрашенная точка от второй части "заполняет" выколотую точку от третьей. Таким образом, график функции не имеет разрывов и является непрерывной линией.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из трех частей: ветви гиперболы $y = -4/x$ на интервале $(-\infty; -2)$, отрезка прямой $y=2$ на отрезке $[-2; 2]$ и ветви гиперболы $y=4/x$ на интервале $(2; +\infty)$. Все три части плавно соединяются в точках $(-2, 2)$ и $(2, 2)$.

342. Постройте график функции:

1) $y = \frac{9x-18}{x^2-2x}$;

2) $y = \frac{5x^2-5}{x-x^3}$.

1) $y = \frac{9x - 18}{x^2 - 2x}$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x^2 - 2x \neq 0$

$x(x - 2) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Теперь упростим выражение для функции, разложив числитель и знаменатель на множители:

$y = \frac{9(x - 2)}{x(x - 2)}$

При условии, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$. Получаем:

$y = \frac{9}{x}$

Графиком этой функции является гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат: $x = 0$ (ось Oy) и $y = 0$ (ось Ox).

Поскольку исходная функция не определена в точке $x = 2$, на графике функции $y = \frac{9}{x}$ будет выколотая точка. Найдем ее координаты, подставив $x = 2$ в упрощенную функцию:

$y = \frac{9}{2} = 4.5$

Таким образом, точка с координатами $(2; 4.5)$ не принадлежит графику исходной функции.

Для построения графика можно найти несколько точек, принадлежащих гиперболе $y = \frac{9}{x}$:

• при $x = 1$, $y = 9$
• при $x = 3$, $y = 3$
• при $x = 9$, $y = 1$
• при $x = -1$, $y = -9$
• при $x = -3$, $y = -3$
• при $x = -9$, $y = -1$

Ответ: Графиком функции $y = \frac{9x - 18}{x^2 - 2x}$ является гипербола $y = \frac{9}{x}$ с выколотой точкой $(2; 4.5)$.

2) $y = \frac{5x^2 - 5}{x - x^3}$

Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:

$x - x^3 \neq 0$

$x(1 - x^2) \neq 0$

$x(1 - x)(1 + x) \neq 0$

Следовательно, $x \neq 0$, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители:

$y = \frac{5(x^2 - 1)}{x(1 - x^2)} = \frac{5(x^2 - 1)}{-x(x^2 - 1)}$

При условиях $x \neq 1$ и $x \neq -1$ (то есть $x^2 - 1 \neq 0$), можно сократить дробь на $(x^2 - 1)$:

$y = \frac{5}{-x} = -\frac{5}{x}$

Графиком этой функции является гипербола. Так как коэффициент перед дробью отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат: $x = 0$ (ось Oy) и $y = 0$ (ось Ox).

Исходная функция не определена в точках $x = 1$ и $x = -1$. Это означает, что на графике функции $y = -\frac{5}{x}$ будут две выколотые точки. Найдем их координаты:

При $x = 1$: $y = -\frac{5}{1} = -5$. Координаты первой выколотой точки: $(1; -5)$.

При $x = -1$: $y = -\frac{5}{-1} = 5$. Координаты второй выколотой точки: $(-1; 5)$.

Для построения графика можно найти несколько точек, принадлежащих гиперболе $y = -\frac{5}{x}$:

• при $x = 2.5$, $y = -2$
• при $x = 5$, $y = -1$
• при $x = -2.5$, $y = 2$
• при $x = -5$, $y = 1$

Ответ: Графиком функции $y = \frac{5x^2 - 5}{x - x^3}$ является гипербола $y = -\frac{5}{x}$ с выколотыми точками $(1; -5)$ и $(-1; 5)$.

343. Постройте график функции $y = \frac{10x^2 - 40}{x^3 - 4x}$.

Для построения графика функции $y = \frac{10x^2 - 40}{x^3 - 4x}$ необходимо сначала найти ее область определения и упростить выражение.

1. Нахождение области определения функции (ОДЗ)

Область определения функции задается условием, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$x^3 - 4x \neq 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4) \neq 0$

Используя формулу разности квадратов, разложим выражение в скобках на множители:

$x(x-2)(x+2) \neq 0$

Произведение не равно нулю, если ни один из множителей не равен нулю. Следовательно, мы получаем три условия:

$x \neq 0$

$x \neq 2$

$x \neq -2$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упрощение выражения функции

Разложим на множители числитель дроби, вынеся общий множитель 10 за скобки и применив формулу разности квадратов:

$10x^2 - 40 = 10(x^2 - 4) = 10(x-2)(x+2)$

Теперь мы можем сократить дробь на общие множители $(x-2)$ и $(x+2)$, так как на области определения функции они не равны нулю:

$y = \frac{10(x-2)(x+2)}{x(x-2)(x+2)} = \frac{10}{x}$

Итак, на всей области определения исходная функция совпадает с функцией $y = \frac{10}{x}$.

3. Анализ и построение графика

Графиком функции $y = \frac{10}{x}$ является гипербола. Так как коэффициент $k=10 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

Поскольку исходная функция не определена в точках $x=-2$ и $x=2$, на графике гиперболы будут две "выколотые" точки. Найдем их координаты, подставив значения $x$ в упрощенную функцию $y = \frac{10}{x}$:

• При $x = 2$, $y = \frac{10}{2} = 5$. Координаты первой выколотой точки: $(2; 5)$.
• При $x = -2$, $y = \frac{10}{-2} = -5$. Координаты второй выколотой точки: $(-2; -5)$.

Для более точного построения графика составим таблицу значений для функции $y = \frac{10}{x}$:

Построение графика заключается в следующем: строим гиперболу $y = \frac{10}{x}$ по точкам из таблицы, а затем отмечаем на ней точки $(2; 5)$ и $(-2; -5)$ пустыми кружками.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{10x^2 - 40}{x^3 - 4x}$ является гипербола $y = \frac{10}{x}$ с выколотыми точками $(2; 5)$ и $(-2; -5)$.

344. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных, содержащихся в выражении, его значение не зависит от значений $a$ и $b$:

$\frac{a^2 - b^2}{a+3b} \cdot \left(\frac{a+b}{a^2 - 2ab + b^2} + \frac{b}{a^2 - b^2}\right) - \frac{b}{a-b}$

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных $a$ и $b$ для всех допустимых значений, необходимо упростить данное выражение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели дробей не равны нулю.

1. $a+3b \neq 0 \implies a \neq -3b$

2. $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \neq 0 \implies a \neq b$

3. $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \neq 0 \implies a \neq b$ и $a \neq -b$

4. $a - b \neq 0 \implies a \neq b$

Итак, ОДЗ: $a \neq b$, $a \neq -b$, $a \neq -3b$.

Теперь упростим выражение по действиям.

Действие 1: Сложение в скобках.

$\frac{a+b}{a^2 - 2ab + b^2} + \frac{b}{a^2 - b^2}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности и разность квадратов.

$\frac{a+b}{(a-b)^2} + \frac{b}{(a-b)(a+b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)^2(a+b)$.

$\frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)^2(a+b)} + \frac{b(a-b)}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{(a+b)^2 + b(a-b)}{(a-b)^2(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые.

$\frac{a^2 + 2ab + b^2 + ab - b^2}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{a^2 + 3ab}{(a-b)^2(a+b)}$

Вынесем общий множитель $a$ в числителе.

$\frac{a(a+3b)}{(a-b)^2(a+b)}$

Действие 2: Умножение.

$\frac{a^2 - b^2}{a + 3b} \cdot \frac{a(a+3b)}{(a-b)^2(a+b)}$

Разложим числитель первой дроби $a^2 - b^2$ на множители.

$\frac{(a-b)(a+b)}{a + 3b} \cdot \frac{a(a+3b)}{(a-b)^2(a+b)}$

Сократим общие множители $(a+3b)$, $(a+b)$ и $(a-b)$.

$\frac{\cancel{(a-b)}\cancel{(a+b)}}{\cancel{a + 3b}} \cdot \frac{a(\cancel{a+3b})}{(a-b)^{\cancel{2}}\cancel{(a+b)}} = \frac{a}{a-b}$

Действие 3: Вычитание.

$\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a-b}$

Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, вычитаем их числители.

$\frac{a-b}{a-b} = 1$

В результате упрощения выражения мы получили число 1. Так как итоговое значение является константой и не зависит от переменных $a$ и $b$, утверждение доказано для всех допустимых значений.

Ответ: 1