Страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

264. В таблице приведены запасы некоторых веществ в минеральных ресурсах мира.

1. Запасы какого из данных веществ наибольшие, а какого — наименьшие?
2. Запасы какого из веществ, никеля или цинка, больше?
3. Составьте таблицу минеральных ресурсов, разместив вещества в порядке уменьшения их запасов.

1) Запасы какого из данных веществ наибольшие, а какого — наименьшие?

Чтобы найти вещество с наибольшими и наименьшими запасами, необходимо сравнить числа, представленные в стандартном виде $a \cdot 10^n$. Сравнение происходит в два этапа: сначала сравниваются показатели степени $n$, а затем, если они равны, сравниваются множители $a$.

Нахождение наибольших запасов:
Наибольший показатель степени в таблице — 10. Ему соответствуют два вещества: железо ($8,8 \cdot 10^{10}$ т) и фосфаты ($1,98 \cdot 10^{10}$ т).
Сравним их множители: $8,8 > 1,98$.
Следовательно, запасы железа являются наибольшими.

Нахождение наименьших запасов:
Наименьший показатель степени в таблице — 4. Ему соответствует только одно вещество: золото ($1,1 \cdot 10^4$ т).
Следовательно, запасы золота являются наименьшими.

Ответ: Наибольшие запасы у железа ($8,8 \cdot 10^{10}$ т), а наименьшие — у золота ($1,1 \cdot 10^4$ т).

2) Запасы какого из веществ, никеля или цинка, больше?

Сравним запасы никеля и цинка.
Запасы никеля: $6,8 \cdot 10^7$ т.
Запасы цинка: $1,12 \cdot 10^8$ т.
Сравниваем показатели степени: у никеля показатель 7, у цинка — 8.
Так как $8 > 7$, то $1,12 \cdot 10^8 > 6,8 \cdot 10^7$.
Следовательно, запасы цинка больше запасов никеля.

Ответ: Запасы цинка больше.

3) Составьте таблицу минеральных ресурсов, разместив вещества в порядке уменьшения их запасов.

Для составления таблицы расположим все вещества в порядке убывания их запасов, сравнивая числа по тому же принципу, что и в первом пункте. Сначала сравниваем по показателю степени, затем по множителю перед степенью.

Ответ: Таблица с веществами, расположенными в порядке уменьшения их запасов, представлена выше.

265. Масса чугунной болванки 16 кг. Какое наименьшее количество болванок потребуется, чтобы отлить 41 деталь массой 12 кг каждая?

Для решения этой задачи нужно сначала вычислить общую массу металла, необходимую для производства всех деталей. Затем, зная массу одной болванки, можно определить, какое минимальное их количество потребуется. Предполагается, что остатки от переплавки болванок также идут в дело.

1. Вычисление общей массы чугуна.

Требуется отлить 41 деталь, каждая из которых имеет массу 12 кг. Найдем общую массу чугуна, умножив количество деталей на массу одной детали:

$41 \times 12 = 492$ кг

Итак, для изготовления всех деталей необходимо 492 кг чугуна.

2. Расчет количества болванок.

Масса одной чугунной болванки составляет 16 кг. Чтобы найти, сколько болванок потребуется для получения 492 кг чугуна, разделим общую массу на массу одной болванки:

$492 \div 16 = 30.75$

3. Определение наименьшего целого количества болванок.

Поскольку болванки можно использовать только целиком, мы не можем взять 30.75 штук. Если мы возьмем 30 болванок, то общая масса чугуна составит:

$30 \times 16 = 480$ кг

Этого количества (480 кг) недостаточно для отливки деталей, так как требуется 492 кг. Следовательно, необходимо взять следующее большее целое число болванок, то есть 31.

Проверим, достаточно ли будет 31 болванки:

$31 \times 16 = 496$ кг

Масса 496 кг превышает необходимую массу в 492 кг, значит, этого количества чугуна будет достаточно.

Ответ: 31 болванка.

266. В некотором городе на сегодняшний день проживает 88 200 жителей. Сколько жителей было в этом городе 2 года назад, если ежегодный прирост населения составлял 5 %?

Это задача на обратные сложные проценты. Чтобы найти численность жителей 2 года назад, нужно учесть, что каждый год она увеличивалась на 5%. Это значит, что численность населения каждый год умножалась на коэффициент $1 + \frac{5}{100} = 1.05$.

Пусть $P_0$ — искомая численность жителей 2 года назад. Через год численность стала $P_1 = P_0 \cdot 1.05$. Еще через год (то есть сегодня) численность стала $P_2 = P_1 \cdot 1.05 = (P_0 \cdot 1.05) \cdot 1.05 = P_0 \cdot (1.05)^2$.

Мы знаем сегодняшнюю численность населения $P_2 = 88200$. Подставим это значение в формулу: $88200 = P_0 \cdot (1.05)^2$

Теперь выразим $P_0$ из этого уравнения: $P_0 = \frac{88200}{(1.05)^2}$

Выполним вычисления: $P_0 = \frac{88200}{1.1025}$ $P_0 = 80000$

Таким образом, численность жителей в городе 2 года назад составляла 80 000 человек.

Ответ: 80 000 жителей.