Страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Чему равно $a^{-n}$ для любого отличного от нуля числа $a$ и натурального числа $n$?

1. Выражение $a^{-n}$ представляет собой степень числа $a$ с целым отрицательным показателем. По определению, для любого отличного от нуля числа $a$ (то есть $a \neq 0$) и любого натурального числа $n$ (то есть $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$), степень с отрицательным показателем равна числу, обратному степени с таким же, но положительным показателем.

Это определение выражается следующей основной формулой:
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Данное правило обеспечивает согласованность свойств степеней. Например, если мы рассмотрим свойство деления степеней $a^m / a^k = a^{m-k}$ и подставим $m=0$, то получим:
$\frac{a^0}{a^n} = a^{0-n} = a^{-n}$
Так как для любого $a \neq 0$ значение $a^0=1$, мы можем переписать левую часть как $\frac{1}{a^n}$. Приравнивая результаты, мы снова приходим к выводу, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Условие $a \neq 0$ является обязательным, потому что в выражении $\frac{1}{a^n}$ знаменатель $a^n$ обратился бы в ноль, если бы $a=0$. Деление на ноль в математике не определено.

Ответ: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

2. Чему равна нулевая степень любого отличного от нуля числа?

2. Нулевая степень любого отличного от нуля числа по определению равна единице.

Это правило можно логически вывести из свойства деления степеней с одинаковым основанием. Данное свойство утверждает, что при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
Это равенство справедливо для любого основания $a \neq 0$ и любых показателей $m$ и $n$.

Теперь рассмотрим частный случай, когда показатели степеней в числителе и знаменателе равны, то есть $m = n$.

С одной стороны, любое ненулевое число, деленное само на себя, равно 1. Следовательно, для любого $a \neq 0$ и любого показателя $n$:
$ \frac{a^n}{a^n} = 1 $

С другой стороны, если мы применим к этому же выражению свойство деления степеней, мы получим:
$ \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 $

Так как левые части обоих выражений ($ \frac{a^n}{a^n} $) идентичны, мы можем приравнять их правые части:
$ a^0 = 1 $

Это доказательство наглядно показывает, почему для любого числа $a$, не равного нулю, его нулевая степень равна единице. Условие $a \neq 0$ является ключевым, так как в противном случае мы столкнулись бы с делением на ноль, которое в математике не определено. Выражение $0^0$ является неопределенностью.

Например:
$ 5^0 = 1 $
$ (-12)^0 = 1 $
$ (\frac{3}{7})^0 = 1 $

Ответ: 1.

3. Что называют стандартным видом числа?

Стандартным видом числа называют его представление в виде произведения $a \cdot 10^n$, где коэффициент $a$, называемый мантиссой, удовлетворяет двойному неравенству $1 \le a < 10$, а показатель степени $n$, называемый порядком числа, является целым числом.

Эта форма записи также известна как научная нотация. Она особенно удобна для представления очень больших (например, расстояние до звезд) или очень маленьких (например, размер атома) величин, которые часто встречаются в науке и технике.

Чтобы привести положительное число к стандартному виду, необходимо выполнить два шага:

1. Переместить десятичную запятую в исходном числе так, чтобы она оказалась сразу после первой значащей (то есть не равной нулю) цифры. Полученное число будет являться мантиссой $a$.
2. Посчитать количество разрядов, на которое была сдвинута запятая. Это число, взятое со знаком «+», если запятая сдвигалась влево (для чисел больше или равных 10), или со знаком «-», если запятая сдвигалась вправо (для чисел меньше 1), будет порядком $n$.

Пример 1: Записать число 345 000 000 в стандартном виде.
Чтобы получить мантиссу в диапазоне $[1; 10)$, переместим запятую так, чтобы она стояла после первой цифры «3». Получим $a = 3,45$. Запятая была смещена на 8 разрядов влево, следовательно, порядок $n = 8$.
Таким образом, $345 000 000 = 3,45 \cdot 10^8$.

Пример 2: Записать число 0,0000567 в стандартном виде.
Переместим запятую вправо, чтобы она оказалась после первой значащей цифры «5». Получим мантиссу $a = 5,67$. Запятая была смещена на 5 разрядов вправо, следовательно, порядок $n = -5$.
Таким образом, $0,0000567 = 5,67 \cdot 10^{-5}$.

Ответ: Стандартный вид числа — это его запись в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $a$ называется мантиссой, а число $n$ — порядком числа.

4. Как в записи числа в стандартном виде $a \cdot 10^n$ называют число $n$?

Стандартным видом числа называют его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Эта форма записи также известна как научная нотация и используется для удобного представления очень больших и очень маленьких чисел.

В этой записи есть два основных компонента:

• Число $a$ называется мантиссой. Она представляет собой число, содержащее значащие цифры исходного числа, и её значение всегда находится в диапазоне от 1 (включительно) до 10 (не включительно).
• Число $n$ называется порядком числа. Это целое число, которое является показателем степени, в которую возводится основание 10. Порядок определяет величину (масштаб) числа.

Например, если мы записываем число 450 000 в стандартном виде, мы получаем $4.5 \cdot 10^5$. Здесь:

• $a = 4.5$ (мантисса)
• $n = 5$ (порядок числа)

Если мы записываем число 0.0028 в стандартном виде, мы получаем $2.8 \cdot 10^{-3}$. Здесь:

• $a = 2.8$ (мантисса)
• $n = -3$ (порядок числа)

Таким образом, в записи числа в стандартном виде $a \cdot 10^n$ число $n$ называют порядком числа.

Ответ: порядок числа.

231. Какому из выражений равно выражение $a^{-6}$:

1) $-a^6$;

2) $\frac{1}{a^{-6}}$;

3) $\frac{1}{a^6}$;

4) $-\frac{1}{a^6}$?

Для решения этой задачи необходимо применить правило степени с отрицательным показателем.

По определению, для любого ненулевого числа $a$ и любого целого положительного числа $n$ верно следующее равенство: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Применим это правило к выражению $a^{-6}$. В данном случае основание степени — это $a$, а показатель — $-6$. Подставив наши значения в формулу, получаем: $a^{-6} = \frac{1}{a^6}$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов ответа:

1) $-a^6$. Этот вариант неверен. Отрицательный показатель степени указывает на обратное число, а не на смену знака всего выражения.

2) $\frac{1}{a^{-6}}$. Этот вариант можно преобразовать, используя то же правило: $\frac{1}{a^{-6}} = \frac{1}{\frac{1}{a^6}} = 1 \cdot a^6 = a^6$. Этот вариант не равен исходному выражению $a^{-6}$.

3) $\frac{1}{a^6}$. Этот вариант в точности соответствует результату, который мы получили, применив правило степени с отрицательным показателем. Следовательно, это правильный ответ.

4) $-\frac{1}{a^6}$. Этот вариант неверен, так как в исходном выражении $a^{-6}$ отсутствует знак минус перед выражением.

Таким образом, единственное выражение, равное $a^{-6}$, это $\frac{1}{a^6}$.

Ответ: 3

232. Представьте степень в виде дроби:

1) $3^{-8};$

2) $5^{-6};$

3) $a^{-9};$

4) $d^{-3};$

5) $12^{-1};$

6) $m^{-1};$

7) $(a - b)^{-2};$

8) $(2x - 3y)^{-4}.$

Чтобы представить степень с отрицательным показателем в виде дроби, используется свойство степени с отрицательным показателем. Согласно этому свойству, для любого числа a (не равного нулю) и целого положительного числа n, справедливо равенство:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Это означает, что выражение в отрицательной степени равно обратной величине этого выражения в соответствующей положительной степени. Применим это правило к каждому из заданий.

1) Для выражения $3^{-8}$ основание степени $a=3$, а показатель степени $n=8$. Применяем правило:
$3^{-8} = \frac{1}{3^8}$
Ответ: $\frac{1}{3^8}$

2) Для выражения $5^{-6}$ основание степени $a=5$, а показатель $n=6$. Применяем правило:
$5^{-6} = \frac{1}{5^6}$
Ответ: $\frac{1}{5^6}$

3) Для выражения $a^{-9}$ основание степени равно a, а показатель $n=9$. Применяем правило:
$a^{-9} = \frac{1}{a^9}$
Ответ: $\frac{1}{a^9}$

4) Для выражения $d^{-3}$ основание степени равно d, а показатель $n=3$. Применяем правило:
$d^{-3} = \frac{1}{d^3}$
Ответ: $\frac{1}{d^3}$

5) Для выражения $12^{-1}$ основание степени $a=12$, а показатель $n=1$. Применяем правило. Так как любое число в первой степени равно самому себе ($a^1=a$), получаем:
$12^{-1} = \frac{1}{12^1} = \frac{1}{12}$
Ответ: $\frac{1}{12}$

6) Для выражения $m^{-1}$ основание степени равно m, а показатель $n=1$. Применяем правило:
$m^{-1} = \frac{1}{m^1} = \frac{1}{m}$
Ответ: $\frac{1}{m}$

7) В выражении $(a - b)^{-2}$ основанием степени является целое выражение в скобках, то есть $(a - b)$, а показатель $n=2$. Применяем правило ко всему основанию:
$(a - b)^{-2} = \frac{1}{(a - b)^2}$
Ответ: $\frac{1}{(a - b)^2}$

8) В выражении $(2x - 3y)^{-4}$ основанием степени является выражение $(2x - 3y)$, а показатель $n=4$. Применяем правило:
$(2x - 3y)^{-4} = \frac{1}{(2x - 3y)^4}$
Ответ: $\frac{1}{(2x - 3y)^4}$

233. Замените степень дробью:

1) $14^{-4}$;

2) $p^{-20}$;

3) $(m+n)^{-1}$;

4) $(4c-5d)^{-10}$.

Для того чтобы заменить степень с отрицательным показателем на дробь, используется основное свойство степени: для любого числа $a$, не равного нулю, и любого целого положительного числа $n$ справедливо равенство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

1) $14^{-4}$

В данном выражении основание степени $a = 14$, а показатель $n = 4$. Применяя формулу, получаем:

$14^{-4} = \frac{1}{14^4}$

Ответ: $\frac{1}{14^4}$

2) $p^{-20}$

Здесь основание степени $a = p$, а показатель $n = 20$. По определению степени с отрицательным показателем:

$p^{-20} = \frac{1}{p^{20}}$

Ответ: $\frac{1}{p^{20}}$

3) $(m + n)^{-1}$

В этом случае основанием степени является выражение в скобках $a = (m+n)$, а показатель $n = 1$.

$(m + n)^{-1} = \frac{1}{(m+n)^1} = \frac{1}{m+n}$

Ответ: $\frac{1}{m+n}$

4) $(4c - 5d)^{-10}$

Основание степени здесь $a = (4c - 5d)$, а показатель $n = 10$.

$(4c - 5d)^{-10} = \frac{1}{(4c - 5d)^{10}}$

Ответ: $\frac{1}{(4c - 5d)^{10}}$

234. Представьте дробь в виде степени с целым отрицательным показателем или в виде произведения степеней:

1) $ \frac{1}{7^2}; $

2) $ \frac{1}{x^5}; $

3) $ \frac{1}{c}; $

4) $ \frac{m}{n^3}; $

5) $ \frac{a}{b}; $

6) $ \frac{x^6}{y^7}; $

7) $ \frac{(a+b)^5}{(c-d)^8}; $

8) $ \frac{(x-y)^2}{x+y}. $

1)

Чтобы представить дробь $ \frac{1}{7^2} $ в виде степени с целым отрицательным показателем, используется свойство степени с отрицательным показателем: $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $. В данном случае основание $ a = 7 $, а показатель степени $ n = 2 $. Применяя это свойство, получаем: $ \frac{1}{7^2} = 7^{-2} $.

Ответ: $ 7^{-2} $

2)

Аналогично для дроби $ \frac{1}{x^5} $ применяем свойство $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $. Здесь основание $ a = x $, а показатель $ n = 5 $. Следовательно, $ \frac{1}{x^5} = x^{-5} $.

Ответ: $ x^{-5} $

3)

Дробь $ \frac{1}{c} $ можно представить как $ \frac{1}{c^1} $, так как любое число или переменная в первой степени равны самому себе. Используем свойство $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $, где $ a = c $ и $ n = 1 $. В результате получаем: $ \frac{1}{c} = c^{-1} $.

Ответ: $ c^{-1} $

4)

Дробь $ \frac{m}{n^3} $ необходимо представить в виде произведения степеней. Для этого запишем ее как произведение числителя на множитель, обратный знаменателю: $ m \cdot \frac{1}{n^3} $. Затем преобразуем множитель $ \frac{1}{n^3} $ в степень с отрицательным показателем по правилу $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $. В данном случае $ a = n $ и $ n = 3 $, поэтому $ \frac{1}{n^3} = n^{-3} $. Подставив это в выражение, получаем искомое произведение степеней: $ m \cdot n^{-3} $.

Ответ: $ m \cdot n^{-3} $

5)

Дробь $ \frac{a}{b} $ можно представить как произведение $ a \cdot \frac{1}{b} $. Знаменатель $ b $ можно записать как $ b^1 $. Используя свойство $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $, где $ a=b $ и $ n=1 $, получаем $ \frac{1}{b} = b^{-1} $. Таким образом, дробь преобразуется в произведение степеней: $ a \cdot b^{-1} $.

Ответ: $ a \cdot b^{-1} $

6)

Представим дробь $ \frac{x^6}{y^7} $ в виде произведения $ x^6 \cdot \frac{1}{y^7} $. Преобразуем второй множитель $ \frac{1}{y^7} $, используя свойство $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $. При $ a = y $ и $ n = 7 $ имеем $ \frac{1}{y^7} = y^{-7} $. В результате получаем произведение степеней: $ x^6 \cdot y^{-7} $.

Ответ: $ x^6 \cdot y^{-7} $

7)

Дробь $ \frac{(a+b)^5}{(c-d)^8} $ представим в виде произведения $ (a+b)^5 \cdot \frac{1}{(c-d)^8} $. Применим свойство $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $ ко второму множителю. В данном случае основанием является выражение в скобках $ a = (c-d) $, а показателем $ n = 8 $. Получаем: $ \frac{1}{(c-d)^8} = (c-d)^{-8} $. Таким образом, исходное выражение равно произведению степеней: $ (a+b)^5 \cdot (c-d)^{-8} $.

Ответ: $ (a+b)^5 \cdot (c-d)^{-8} $

8)

Дробь $ \frac{(x-y)^2}{x+y} $ представим как произведение $ (x-y)^2 \cdot \frac{1}{x+y} $. Знаменатель $ x+y $ можно записать как $ (x+y)^1 $. Применим свойство $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $ с основанием $ a = (x+y) $ и показателем $ n = 1 $. Получаем: $ \frac{1}{x+y} = (x+y)^{-1} $. В итоге получаем произведение степеней: $ (x-y)^2 \cdot (x+y)^{-1} $.

Ответ: $ (x-y)^2 \cdot (x+y)^{-1} $

235. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем или произведением степеней:

1) $\frac{1}{11^{11}}`;$

2) $\frac{1}{k^4}$;

3) $\frac{x^2}{y}$;

4) $\frac{m^6}{n^6}$;

5) $\frac{(2x - y)^3}{(x - 2y)^9}$.

1) Чтобы заменить дробь $ \frac{1}{11^{11}} $ степенью с целым отрицательным показателем, используется свойство степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $. Применяя это свойство в обратном порядке для основания $ a = 11 $ и показателя $ n = 11 $, мы получаем: $ \frac{1}{11^{11}} = 11^{-11} $.
Ответ: $ 11^{-11} $.

2) Аналогично предыдущему пункту, для дроби $ \frac{1}{k^4} $ применяется свойство $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $. В данном случае основание $ a = k $ и показатель $ n = 4 $. Таким образом, дробь можно записать в виде степени с отрицательным показателем: $ \frac{1}{k^4} = k^{-4} $.
Ответ: $ k^{-4} $.

3) Дробь $ \frac{x^2}{y} $ можно представить в виде произведения степеней. Для этого мы представляем дробь как произведение числителя и знаменателя в степени -1. Знаменатель $ y $ можно записать как $ y^1 $. Используя свойство $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $, получаем $ \frac{1}{y} = y^{-1} $. Тогда исходное выражение становится произведением: $ \frac{x^2}{y} = x^2 \cdot \frac{1}{y} = x^2 \cdot y^{-1} $.
Ответ: $ x^2 y^{-1} $.

4) Дробь $ \frac{m^6}{n^6} $ можно представить в виде степени с отрицательным показателем. Сначала используем свойство степени частного $ \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n $: $ \frac{m^6}{n^6} = (\frac{m}{n})^6 $. Далее, чтобы получить отрицательный показатель, воспользуемся свойством $ (\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n} $, которое позволяет обратить дробь в основании, изменив знак показателя степени: $ (\frac{m}{n})^6 = (\frac{n}{m})^{-6} $.
Ответ: $ (\frac{n}{m})^{-6} $.

5) Дробь $ \frac{(2x - y)^3}{(x - 2y)^9} $ необходимо представить в виде произведения степеней. Мы можем записать эту дробь как произведение числителя на обратную величину знаменателя: $ \frac{(2x - y)^3}{(x - 2y)^9} = (2x - y)^3 \cdot \frac{1}{(x - 2y)^9} $. Применяя свойство $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $ к знаменателю, где $ a = (x-2y) $ и $ n=9 $, получаем: $ \frac{1}{(x - 2y)^9} = (x - 2y)^{-9} $. Таким образом, итоговое выражение в виде произведения степеней будет: $ (2x - y)^3 (x - 2y)^{-9} $.
Ответ: $ (2x - y)^3 (x - 2y)^{-9} $.