Номер 207, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Упражнения - номер 207, страница 56.

Условие.

207. Решите уравнение:

1) $\frac{x - 6}{x - 4} = 0;$

2) $\frac{x - 2}{x^2 - 4} = 0;$

3) $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0;$

4) $\frac{x - 2}{x - 2} = 1;$

5) $\frac{2x^2 + 18}{x^2 + 9} = 2;$

6) $\frac{x}{x - 5} + \frac{2x - 9}{x - 5} = 0;$

7) $\frac{5x - 7}{x + 1} - \frac{x - 5}{x + 1} = 0;$

8) $\frac{2x + 16}{x + 3} - \frac{1 - 3x}{x + 3} = 0;$

9) $\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = 0;$

10) $\frac{3}{x - 2} = \frac{4}{x + 3};$

11) $\frac{x}{x - 6} = 2;$

12) $\frac{x - 4}{x - 3} = \frac{2x + 1}{2x - 1};$

13) $\frac{x + 8}{x} - \frac{6}{x - 2} = 0;$

14) $\frac{2x}{x - 5} - \frac{x^2 + 15x}{x^2 - 25} = 0;$

15) $3 - \frac{2x^2 - 5x}{x^2 - 3x} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $ \frac{x-6}{x-4} = 0 $
Уравнение представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.
Теперь приравняем числитель к нулю: $x - 6 = 0$
$x = 6$
Полученный корень $x=6$ удовлетворяет условию ОДЗ ($6 \neq 4$).
Ответ: 6

2) $ \frac{x-2}{x^2-4} = 0 $
ОДЗ: $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Приравняем числитель к нулю: $x - 2 = 0$
$x = 2$
Полученное значение $x=2$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет

3) $ \frac{x^2-4}{x-2} = 0 $
ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
Приравняем числитель к нулю: $x^2 - 4 = 0$
$(x-2)(x+2) = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -2

4) $ \frac{x-2}{x-2} = 1 $
ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
При любом значении $x$, удовлетворяющем ОДЗ, выражение в левой части тождественно равно 1. Следовательно, решением уравнения является любое число, кроме 2.
Ответ: $x$ — любое число, кроме 2

5) $ \frac{2x^2+18}{x^2+9} = 2 $
ОДЗ: $x^2 + 9 \neq 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 9 \ge 9$, поэтому знаменатель никогда не равен нулю. ОДЗ: $x$ - любое число.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2+9$: $2x^2 + 18 = 2(x^2 + 9)$
$2x^2 + 18 = 2x^2 + 18$
$0 = 0$
Получено верное тождество, значит, уравнение верно для любого значения $x$ из области допустимых значений.
Ответ: $x$ — любое число

6) $ \frac{x}{x-5} + \frac{2x-9}{x-5} = 0 $
ОДЗ: $x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.
Так как знаменатели одинаковы, сложим числители: $\frac{x + (2x-9)}{x-5} = 0$
$\frac{3x-9}{x-5} = 0$
Приравняем числитель к нулю: $3x - 9 = 0 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$.
Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \neq 5$).
Ответ: 3

7) $ \frac{5x-7}{x+1} - \frac{x-5}{x+1} = 0 $
ОДЗ: $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.
Вычтем числители: $\frac{(5x-7) - (x-5)}{x+1} = 0$
$\frac{5x-7-x+5}{x+1} = 0$
$\frac{4x-2}{x+1} = 0$
Приравняем числитель к нулю: $4x-2 = 0 \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ или $x=0.5$.
Корень $x=0.5$ удовлетворяет ОДЗ ($0.5 \neq -1$).
Ответ: 0.5

8) $ \frac{2x+16}{x+3} - \frac{1-3x}{x+3} = 0 $
ОДЗ: $x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.
Вычтем числители: $\frac{(2x+16) - (1-3x)}{x+3} = 0$
$\frac{2x+16-1+3x}{x+3} = 0$
$\frac{5x+15}{x+3} = 0$
Приравняем числитель к нулю: $5x+15 = 0 \Rightarrow 5x = -15 \Rightarrow x = -3$.
Полученное значение $x=-3$ не входит в ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет

9) $ \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+1} = 0 $
ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$: $\frac{2(x+1) + 1(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 0$
$\frac{2x+2+x-1}{(x-1)(x+1)} = 0$
$\frac{3x+1}{(x-1)(x+1)} = 0$
Приравняем числитель к нулю: $3x+1 = 0 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$.
Корень $x=-\frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-\frac{1}{3}$

10) $ \frac{3}{x-2} = \frac{4}{x+3} $
ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -3$.
Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $3(x+3) = 4(x-2)$
$3x+9 = 4x-8$
$9+8 = 4x-3x$
$x = 17$
Корень $x=17$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 17

11) $ \frac{x}{x-6} = 2 $
ОДЗ: $x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$.
Умножим обе части на знаменатель $x-6$: $x = 2(x-6)$
$x = 2x - 12$
$12 = 2x - x$
$x = 12$
Корень $x=12$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 12

12) $ \frac{x-4}{x-3} = \frac{2x+1}{2x-1} $
ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $2x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x \neq \frac{1}{2}$.
Используем свойство пропорции: $(x-4)(2x-1) = (2x+1)(x-3)$
$2x^2 - x - 8x + 4 = 2x^2 - 6x + x - 3$
$2x^2 - 9x + 4 = 2x^2 - 5x - 3$
$-9x + 4 = -5x - 3$
$4 + 3 = -5x + 9x$
$7 = 4x$
$x = \frac{7}{4} = 1.75$
Корень $x=1.75$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 1.75

13) $ \frac{x+8}{x} - \frac{6}{x-2} = 0 $
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 2$.
Приведем к общему знаменателю $x(x-2)$: $\frac{(x+8)(x-2) - 6x}{x(x-2)} = 0$
Приравняем числитель к нулю: $(x+8)(x-2) - 6x = 0$
$x^2 - 2x + 8x - 16 - 6x = 0$
$x^2 - 16 = 0$
$(x-4)(x+4) = 0$
Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: -4; 4

14) $ \frac{2x}{x-5} - \frac{x^2+15x}{x^2-25} = 0 $
ОДЗ: $x-5 \neq 0$ и $x^2-25 \neq 0$. $x^2-25 = (x-5)(x+5)$, значит $x \neq 5$ и $x \neq -5$.
Разложим второй знаменатель на множители и приведем к общему знаменателю: $\frac{2x(x+5)}{(x-5)(x+5)} - \frac{x^2+15x}{(x-5)(x+5)} = 0$
$\frac{2x(x+5) - (x^2+15x)}{(x-5)(x+5)} = 0$
Приравняем числитель к нулю: $2x^2 + 10x - x^2 - 15x = 0$
$x^2 - 5x = 0$
$x(x-5) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$.
Корень $x_2=5$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_1=0$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 0

15) $ 3 - \frac{2x^2-5x}{x^2-3x} = 0 $
ОДЗ: $x^2-3x \neq 0 \Rightarrow x(x-3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 3$.
Приведем к общему знаменателю $x^2-3x$: $\frac{3(x^2-3x) - (2x^2-5x)}{x^2-3x} = 0$
Приравняем числитель к нулю: $3x^2 - 9x - 2x^2 + 5x = 0$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x-4) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Корень $x_1=0$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2=4$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 4