Номер 5, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Глава 1. Рациональные выражения - номер 5, страница 55.

Условие.

5. Опишите алгоритм решения уравнения вида $\frac{A}{B} = 0$, где А и В – многочлены.

Решение 2.

Решение 8.

Алгоритм решения уравнения вида $\frac{A}{B} = 0$, где $A$ и $B$ являются многочленами, основывается на условии равенства дроби нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля.

Это означает, что решение исходного уравнения эквивалентно решению системы условий: $ \begin{cases} A = 0, \\ B \neq 0. \end{cases} $

Исходя из этого, алгоритм решения можно разбить на следующие шаги:

Шаг 1. Решение уравнения $A=0$
Первым делом необходимо приравнять числитель $A$ к нулю и решить полученное уравнение $A = 0$. Поскольку $A$ — это многочлен, нужно найти все его корни (то есть все значения переменной, при которых он обращается в ноль). Методы решения будут зависеть от вида и степени многочлена (например, для линейного уравнения — простое выражение переменной, для квадратного — нахождение корней через дискриминант, для многочленов высших степеней могут применяться методы разложения на множители, схема Горнера и т.д.).

Шаг 2. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)
Далее нужно найти все значения переменной, при которых знаменатель $B$ обращается в нуль. Для этого решается уравнение $B = 0$. Найденные корни — это недопустимые значения для исходного уравнения, так как на ноль делить нельзя. Эти значения необходимо будет исключить из итогового ответа.

Шаг 3. Исключение посторонних корней
На этом шаге необходимо проверить все корни, найденные на Шаге 1. Каждый корень уравнения $A=0$ нужно подставить в выражение для знаменателя $B$ или просто сравнить со списком корней знаменателя, полученным на Шаге 2. Если какой-либо корень числителя совпадает с одним из корней знаменателя, то он является посторонним и не входит в решение исходного уравнения.

Шаг 4. Формирование ответа
В ответ записываются только те корни уравнения $A=0$, которые удовлетворяют условию $B \neq 0$, то есть все корни числителя, которые не были исключены на Шаге 3.

Ответ: Чтобы решить уравнение вида $\frac{A}{B}=0$, где $A$ и $B$ — многочлены, необходимо:
1. Найти все корни уравнения $A=0$.
2. Найти все корни уравнения $B=0$.
3. Из множества корней, полученных в первом пункте, исключить все значения, которые совпадают с корнями, полученными во втором пункте.
4. Оставшиеся после исключения значения и составляют множество решений исходного уравнения.