Номер 4, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Вопросы - номер 4, страница 55.

Условие.

4. Сформулируйте условие равенства дроби нулю.

Решение 2.

Решение 8.

4. Сформулируйте условие равенства дроби нулю.

Условие, при котором дробь равна нулю, является одним из фундаментальных правил в алгебре. Рассмотрим алгебраическую дробь вида $\frac{A}{B}$, где $A$ является числителем, а $B$ — знаменателем.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия:

1. Числитель дроби равен нулю.
Результат деления может быть равен нулю только в том случае, если делимое (числитель) равно нулю. То есть, $A = 0$.

2. Знаменатель дроби не равен нулю.
Одно из основных правил математики гласит, что деление на ноль не определено. Поэтому, чтобы дробь имела смысл как числовое значение, ее знаменатель не должен быть равен нулю. То есть, $B \neq 0$.

Эти два условия можно объединить в систему. Равенство $\frac{A}{B} = 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} A = 0, \\ B \neq 0. \end{cases}$

Пример:
Найти, при каком значении переменной $x$ дробь $\frac{x^2 - 9}{x + 3}$ равна нулю.
Составим и решим систему:
$\begin{cases} x^2 - 9 = 0, \\ x + 3 \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения находим корни: $x^2 = 9$, откуда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Из второго условия получаем: $x \neq -3$.
Сравнивая результаты, мы видим, что корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x \neq -3$, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет этому условию.
Следовательно, данная дробь равна нулю только при $x = 3$.

Ответ: Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.