Номер 9, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №2 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 1. Рациональные выражения - номер 9, страница 50.

Условие.

9. Какому числу при всех допустимых значениях $a$ равно значение выражения $(\frac{30a}{9a^2 - 25} + \frac{5}{5 - 3a}) : (\frac{3a - 5}{3a + 5} - 1)?$

А) $\frac{1}{2}$Б) $2$В) $-\frac{1}{2}$Г) $-2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для того чтобы найти значение выражения, необходимо его упростить. Будем выполнять действия по порядку: сначала в первой скобке, затем во второй, и в конце выполним деление.

1. Выполним действие в первой скобке: $ \left(\frac{30a}{9a^2 - 25} + \frac{5}{5 - 3a}\right) $.

В знаменателе первой дроби применим формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $:

$ 9a^2 - 25 = (3a)^2 - 5^2 = (3a - 5)(3a + 5) $

В знаменателе второй дроби вынесем знак минус за скобку, чтобы получить выражение, схожее с частью первого знаменателя:

$ 5 - 3a = -(3a - 5) $

Теперь перепишем выражение в скобках с новыми знаменателями:

$ \frac{30a}{(3a - 5)(3a + 5)} + \frac{5}{-(3a - 5)} = \frac{30a}{(3a - 5)(3a + 5)} - \frac{5}{3a - 5} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ (3a - 5)(3a + 5) $. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на множитель $ (3a + 5) $:

$ \frac{30a}{(3a - 5)(3a + 5)} - \frac{5(3a + 5)}{(3a - 5)(3a + 5)} $

Объединим дроби и упростим числитель:

$ \frac{30a - 5(3a + 5)}{(3a - 5)(3a + 5)} = \frac{30a - 15a - 25}{(3a - 5)(3a + 5)} = \frac{15a - 25}{(3a - 5)(3a + 5)} $

Вынесем в числителе общий множитель 5 за скобки:

$ \frac{5(3a - 5)}{(3a - 5)(3a + 5)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (3a - 5) $. Это возможно, так как в области допустимых значений $ a $, $ 3a - 5 \neq 0 $.

$ \frac{5}{3a + 5} $

2. Выполним действие во второй скобке: $ \left(\frac{3a - 5}{3a + 5} - 1\right) $.

Приведем выражение к общему знаменателю $ (3a + 5) $:

$ \frac{3a - 5}{3a + 5} - \frac{1 \cdot (3a + 5)}{3a + 5} = \frac{(3a - 5) - (3a + 5)}{3a + 5} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{3a - 5 - 3a - 5}{3a + 5} = \frac{-10}{3a + 5} $

3. Выполним деление результатов.

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:

$ \left(\frac{5}{3a + 5}\right) : \left(\frac{-10}{3a + 5}\right) $

Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:

$ \frac{5}{3a + 5} \cdot \frac{3a + 5}{-10} $

Сократим на общий множитель $ (3a + 5) $, так как $ 3a + 5 \neq 0 $ для допустимых $ a $:

$ \frac{5}{-10} $

Упростим полученную дробь:

$ -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2} $

Таким образом, значение выражения не зависит от переменной $ a $ и всегда равно $ -1/2 $. Этот результат соответствует варианту В.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $