Номер 5, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №2 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 1. Рациональные выражения - номер 5, страница 49.

Условие.

5. Упростите выражение $\frac{3x + 9}{x^2 - 2x} : \frac{x + 3}{4x - 8}$

А) $\frac{12}{x}$

Б) $\frac{x}{12}$

В) $12$

Г) $x$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить деление алгебраических дробей. Операция деления на дробь эквивалентна умножению на обратную (перевёрнутую) дробь.

Исходное выражение:

$$ \frac{3x + 9}{x^2 - 2x} : \frac{x + 3}{4x - 8} $$

1. Замена деления умножением.

Заменим знак деления на знак умножения и перевернём вторую дробь (делитель):

$$ \frac{3x + 9}{x^2 - 2x} \cdot \frac{4x - 8}{x + 3} $$

2. Разложение на множители.

Для дальнейшего упрощения разложим числители и знаменатели дробей на множители, вынося общие множители за скобки:

• Числитель первой дроби: $3x + 9 = 3(x + 3)$
• Знаменатель первой дроби: $x^2 - 2x = x(x - 2)$
• Числитель второй дроби: $4x - 8 = 4(x - 2)$
• Знаменатель второй дроби $(x + 3)$ уже является простым множителем.

3. Подстановка и сокращение.

Подставим разложенные выражения обратно в произведение:

$$ \frac{3(x + 3)}{x(x - 2)} \cdot \frac{4(x - 2)}{x + 3} $$

Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителях и знаменателях. Сокращаем множитель $(x + 3)$ и множитель $(x - 2)$. Это возможно при выполнении условий Области допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $x \neq 2$ и $x \neq -3$.

$$ \frac{3 \cdot \cancel{(x + 3)}}{x \cdot \cancel{(x - 2)}} \cdot \frac{4 \cdot \cancel{(x - 2)}}{\cancel{(x + 3)}} $$

4. Получение результата.

После сокращения в числителе остаются множители 3 и 4, а в знаменателе — $x$. Перемножим оставшиеся числа в числителе:

$$ \frac{3 \cdot 4}{x} = \frac{12}{x} $$

Результат упрощения выражения — $\frac{12}{x}$, что соответствует варианту А).

Ответ: А) $\frac{12}{x}$