Страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Представьте в виде дроби выражение $\frac{12m^4}{n^{10}} \cdot \frac{n^5}{36m^8}$.

А) $\frac{1}{3m^2n^2}$

Б) $\frac{1}{3m^4n^5}$

В) $\frac{3}{m^2n^2}$

Г) $\frac{3}{m^4n^5}$

1. Чтобы представить данное выражение в виде дроби, необходимо выполнить умножение дробей и сократить полученный результат.

Запишем произведение как одну дробь, перемножив числители и знаменатели:

$ \frac{12m^4}{n^{10}} \cdot \frac{n^5}{36m^8} = \frac{12m^4n^5}{36m^8n^{10}} $

Теперь выполним сокращение. Для этого сгруппируем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями и сократим каждую группу, используя свойство степеней $ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} $:

$ \frac{12}{36} \cdot \frac{m^4}{m^8} \cdot \frac{n^5}{n^{10}} = \frac{1}{3} \cdot m^{4-8} \cdot n^{5-10} = \frac{1}{3} m^{-4} n^{-5} $

Используя определение степени с отрицательным показателем ($ a^{-k} = \frac{1}{a^k} $), запишем выражение в виде итоговой дроби:

$ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{m^4} \cdot \frac{1}{n^5} = \frac{1}{3m^4n^5} $

Полученный результат соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $ \frac{1}{3m^4n^5} $

2. Выполните умножение: $(a+5b) \cdot \frac{8}{a^2 - 25b^2}$

А) $8(a-5b)$

Б) $8(a+5b)$

В) $\frac{8}{a+5b}$

Г) $\frac{8}{a-5b}$

Чтобы выполнить умножение, необходимо умножить выражение $(a+5b)$ на числитель дроби и записать результат в числитель новой дроби. Исходное выражение можно представить в следующем виде:

$(a+5b) \cdot \frac{8}{a^2 - 25b^2} = \frac{(a+5b) \cdot 8}{a^2 - 25b^2}$

Знаменатель дроби $a^2 - 25b^2$ является разностью квадратов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В нашем случае $x=a$ и $y=5b$, поскольку $(5b)^2 = 25b^2$. Таким образом, мы можем разложить знаменатель на множители:

$a^2 - 25b^2 = (a - 5b)(a + 5b)$

Теперь подставим разложенный на множители знаменатель обратно в наше выражение:

$\frac{8(a+5b)}{(a - 5b)(a + 5b)}$

Мы видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $(a+5b)$. Мы можем сократить дробь на этот множитель (при условии, что $a+5b \neq 0$):

$\frac{8\cancel{(a+5b)}}{(a - 5b)\cancel{(a + 5b)}} = \frac{8}{a - 5b}$

Полученное выражение соответствует варианту ответа Г.

Ответ: Г) $\frac{8}{a - 5b}$

$\frac{b^2 - 6b + 9}{b - 7} \cdot \frac{b - 7}{b - 3}$

А) $b + 3$ Б) $b - 3$ В) $\frac{1}{b - 3}$ Г) $\frac{1}{b + 3}$

3. Упростите выражение

Для того чтобы упростить выражение $\frac{b^2 - 6b + 9}{b - 7} \cdot \frac{b - 7}{b - 3}$, необходимо последовательно выполнить несколько действий.

Сначала разложим на множители числитель первой дроби, $b^2 - 6b + 9$. Данное выражение является полным квадратом разности, который можно представить в виде $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$. В нашем случае $a=b$ и $c=3$, поэтому:

$b^2 - 6b + 9 = (b-3)^2$

Теперь подставим разложенный на множители числитель обратно в исходное выражение:

$\frac{(b - 3)^2}{b - 7} \cdot \frac{b - 7}{b - 3}$

Далее выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:

$\frac{(b - 3)^2 \cdot (b - 7)}{(b - 7) \cdot (b - 3)}$

Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $(b - 7)$ и $(b - 3)$. Сокращение дроби возможно при условии, что переменная не принимает значения, при которых знаменатель обращается в ноль, то есть $b \neq 7$ и $b \neq 3$.

$\frac{(b - 3) \cdot (b-3) \cdot (b-7)}{(b-7) \cdot (b-3)}$

После сокращения множителей $(b - 7)$ и одного из множителей $(b - 3)$ получаем:

$b - 3$

Таким образом, исходное выражение упрощается до $b - 3$, что соответствует варианту ответа Б).

Ответ: $b - 3$

4. Выполните деление: $ \frac{5a^6}{b^8} : (10a^3b^2). $

А) $ \frac{2a^9}{b^6} $

Б) $ \frac{b^6}{2a^9} $

В) $ \frac{2b^{10}}{a^3} $

Г) $ \frac{a^3}{2b^{10}} $

Для выполнения деления алгебраической дроби на одночлен, необходимо заменить деление умножением на выражение, обратное делителю.

Исходное выражение: $\frac{5a^6}{b^8} : (10a^3b^2)$.

Делитель в данном случае — это одночлен $10a^3b^2$. Выражение, обратное ему, равно $\frac{1}{10a^3b^2}$.

Заменим операцию деления на умножение на обратное выражение:

$\frac{5a^6}{b^8} : (10a^3b^2) = \frac{5a^6}{b^8} \cdot \frac{1}{10a^3b^2}$

Теперь выполним умножение дробей. Для этого перемножим их числители и знаменатели:

$\frac{5a^6 \cdot 1}{b^8 \cdot 10a^3b^2} = \frac{5a^6}{10a^3b^8b^2}$

Далее упростим полученную дробь. Для этого сократим числовые коэффициенты и переменные с их степенями.

1. Сократим числовые коэффициенты $\frac{5}{10}$:

$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

2. Упростим переменные $a$, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^6}{a^3} = a^{6-3} = a^3$

3. Упростим переменные $b$ в знаменателе, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$b^8 \cdot b^2 = b^{8+2} = b^{10}$

Соберем все упрощенные части вместе. В числителе остается $1 \cdot a^3 = a^3$, а в знаменателе $2 \cdot b^{10} = 2b^{10}$.

Итоговый результат:

$\frac{a^3}{2b^{10}}$

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом Г.

Ответ: $\frac{a^3}{2b^{10}}$

5. Упростите выражение $\frac{3x + 9}{x^2 - 2x} : \frac{x + 3}{4x - 8}$

А) $\frac{12}{x}$

Б) $\frac{x}{12}$

В) $12$

Г) $x$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить деление алгебраических дробей. Операция деления на дробь эквивалентна умножению на обратную (перевёрнутую) дробь.

Исходное выражение:

$$ \frac{3x + 9}{x^2 - 2x} : \frac{x + 3}{4x - 8} $$

1. Замена деления умножением.

Заменим знак деления на знак умножения и перевернём вторую дробь (делитель):

$$ \frac{3x + 9}{x^2 - 2x} \cdot \frac{4x - 8}{x + 3} $$

2. Разложение на множители.

Для дальнейшего упрощения разложим числители и знаменатели дробей на множители, вынося общие множители за скобки:

• Числитель первой дроби: $3x + 9 = 3(x + 3)$
• Знаменатель первой дроби: $x^2 - 2x = x(x - 2)$
• Числитель второй дроби: $4x - 8 = 4(x - 2)$
• Знаменатель второй дроби $(x + 3)$ уже является простым множителем.

3. Подстановка и сокращение.

Подставим разложенные выражения обратно в произведение:

$$ \frac{3(x + 3)}{x(x - 2)} \cdot \frac{4(x - 2)}{x + 3} $$

Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителях и знаменателях. Сокращаем множитель $(x + 3)$ и множитель $(x - 2)$. Это возможно при выполнении условий Области допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $x \neq 2$ и $x \neq -3$.

$$ \frac{3 \cdot \cancel{(x + 3)}}{x \cdot \cancel{(x - 2)}} \cdot \frac{4 \cdot \cancel{(x - 2)}}{\cancel{(x + 3)}} $$

4. Получение результата.

После сокращения в числителе остаются множители 3 и 4, а в знаменателе — $x$. Перемножим оставшиеся числа в числителе:

$$ \frac{3 \cdot 4}{x} = \frac{12}{x} $$

Результат упрощения выражения — $\frac{12}{x}$, что соответствует варианту А).

Ответ: А) $\frac{12}{x}$

6. Представьте в виде дроби выражение $ \frac{n^2 - 3n}{64n^2 - 1} : \frac{n^4 - 27n}{64n^2 + 16n + 1} $

A) $ \frac{8n + 1}{(8n - 1)(n^2 + 3n + 9)} $

B) $ \frac{8n - 1}{(8n + 1)(n^2 + 3n + 9)} $

Б) $ \frac{8n + 1}{(8n - 1)(n^2 - 3n + 9)} $

Г) $ \frac{8n - 1}{(8n + 1)(n^2 - 3n + 9)} $

Для того чтобы представить данное выражение в виде дроби, необходимо выполнить деление двух рациональных дробей. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

Исходное выражение:

$$ \frac{n^2 - 3n}{64n^2 - 1} : \frac{n^4 - 27n}{64n^2 + 16n + 1} $$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$$ \frac{n^2 - 3n}{64n^2 - 1} \cdot \frac{64n^2 + 16n + 1}{n^4 - 27n} $$

Теперь разложим на множители каждый числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

1. Числитель первой дроби: $n^2 - 3n = n(n - 3)$

2. Знаменатель первой дроби (формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$):
$64n^2 - 1 = (8n)^2 - 1^2 = (8n - 1)(8n + 1)$

3. Числитель второй дроби (формула квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)$):
$64n^2 + 16n + 1 = (8n)^2 + 2 \cdot 8n \cdot 1 + 1^2 = (8n + 1)^2$

4. Знаменатель второй дроби (вынесение общего множителя и формула разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$):
$n^4 - 27n = n(n^3 - 27) = n(n^3 - 3^3) = n(n - 3)(n^2 + 3n + 9)$

Подставим разложенные выражения обратно в произведение:

$$ \frac{n(n - 3)}{(8n - 1)(8n + 1)} \cdot \frac{(8n + 1)^2}{n(n - 3)(n^2 + 3n + 9)} $$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаются множители $n$, $(n-3)$ и одна из скобок $(8n+1)$:

$$ \frac{\cancel{n}\cancel{(n - 3)}}{(8n - 1)\cancel{(8n + 1)}} \cdot \frac{(8n + 1)^{\cancel{2}}}{\cancel{n}\cancel{(n - 3)}(n^2 + 3n + 9)} $$

После сокращения получаем итоговую дробь:

$$ \frac{8n + 1}{(8n - 1)(n^2 + 3n + 9)} $$

Данное выражение соответствует варианту ответа А.

Ответ: А) $\frac{8n + 1}{(8n - 1)(n^2 + 3n + 9)}$

7. Выполните возведение в степень: $\left(-\frac{2a^2}{b^3}\right)^4$.

А) $\frac{8a^8}{b^{12}}$

Б) $-\frac{8a^8}{b^{12}}$

В) $\frac{16a^8}{b^{12}}$

Г) $-\frac{16a^8}{b^{12}}$

Для того чтобы выполнить возведение дроби в степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель в числителе и знаменателе. Воспользуемся следующими свойствами степеней:

1. Возведение дроби в степень: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.

2. Возведение произведения в степень: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$.

3. Возведение степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Применим эти свойства к заданному выражению $(-\frac{2a^2}{b^3})^4$.

Сначала возведем в степень всю дробь:

$(-\frac{2a^2}{b^3})^4 = \frac{(-2a^2)^4}{(b^3)^4}$

Так как показатель степени 4 является четным числом, результат возведения отрицательного основания в эту степень будет положительным. То есть, $(-1)^4 = 1$.

$\frac{(-2a^2)^4}{(b^3)^4} = \frac{2^4 \cdot (a^2)^4}{(b^3)^4}$

Теперь возведем в степень каждый множитель в числителе и знаменателе:

В числителе:

$2^4 = 16$

$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$

В знаменателе:

$(b^3)^4 = b^{3 \cdot 4} = b^{12}$

Собираем полученные части вместе:

$\frac{16a^8}{b^{12}}$

Среди предложенных вариантов этот результат соответствует варианту В.

Ответ: $\frac{16a^8}{b^{12}}$

8. Упростите выражение $(\frac{1}{a-6} - \frac{1}{a+6}) : \frac{2}{a+6}$

А) $\frac{6}{a+6}$

Б) $\frac{6}{a-6}$

В) $6(a-6)$

Г) $6(a+6)$

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно выполнить действия: сначала вычитание в скобках, а затем деление.

1. Выполнение вычитания в скобках

Найдем разность дробей $ \frac{1}{a-6} $ и $ \frac{1}{a+6} $. Для этого приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем является произведение их знаменателей: $ (a-6)(a+6) $.

$ \frac{1}{a-6} - \frac{1}{a+6} = \frac{1 \cdot (a+6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{1 \cdot (a-6)}{(a-6)(a+6)} $

Теперь, когда дроби имеют одинаковый знаменатель, можно вычесть их числители:

$ \frac{(a+6) - (a-6)}{(a-6)(a+6)} = \frac{a+6-a+6}{(a-6)(a+6)} = \frac{12}{(a-6)(a+6)} $

2. Выполнение деления

Теперь разделим результат, полученный в первом действии, на дробь $ \frac{2}{a+6} $. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

$ \frac{12}{(a-6)(a+6)} : \frac{2}{a+6} = \frac{12}{(a-6)(a+6)} \cdot \frac{a+6}{2} $

Сократим полученное выражение. Множитель $ (a+6) $ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому его можно сократить. Также можно сократить числовые коэффициенты 12 и 2.

$ \frac{12 \cdot (a+6)}{2 \cdot (a-6)(a+6)} = \frac{12}{2} \cdot \frac{a+6}{(a-6)(a+6)} = \frac{6}{a-6} $

Таким образом, после упрощения исходное выражение равно $ \frac{6}{a-6} $. Это соответствует варианту ответа Б).

Ответ: $ \frac{6}{a-6} $