Страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

193. Решите уравнение:

1) $(3x - 1)(4x + 5) - (2x + 3)(6x + 1) = 4;$

2) $8x(2x + 7) - (4x + 3)^2 = 15.$

1) $(3x - 1)(4x + 5) - (2x + 3)(6x + 1) = 4$

Для решения уравнения раскроем скобки в левой части. Для этого перемножим многочлены:

$(3x \cdot 4x + 3x \cdot 5 - 1 \cdot 4x - 1 \cdot 5) - (2x \cdot 6x + 2x \cdot 1 + 3 \cdot 6x + 3 \cdot 1) = 4$

Выполним умножение:

$(12x^2 + 15x - 4x - 5) - (12x^2 + 2x + 18x + 3) = 4$

Приведем подобные слагаемые внутри каждой из скобок:

$(12x^2 + 11x - 5) - (12x^2 + 20x + 3) = 4$

Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$12x^2 + 11x - 5 - 12x^2 - 20x - 3 = 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(12x^2 - 12x^2) + (11x - 20x) + (-5 - 3) = 4$

$-9x - 8 = 4$

Перенесем слагаемое -8 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$-9x = 4 + 8$

$-9x = 12$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -9:

$x = \frac{12}{-9}$

Сократим дробь на 3 и выделим целую часть:

$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$

Ответ: $-1\frac{1}{3}$.

2) $8x(2x + 7) - (4x + 3)^2 = 15$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для первого слагаемого выполним умножение одночлена на многочлен, а для второго используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(8x \cdot 2x + 8x \cdot 7) - ((4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2) = 15$

Выполним вычисления:

$(16x^2 + 56x) - (16x^2 + 24x + 9) = 15$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними (меняем знаки слагаемых в скобках на противоположные):

$16x^2 + 56x - 16x^2 - 24x - 9 = 15$

Приведем подобные слагаемые:

$(16x^2 - 16x^2) + (56x - 24x) - 9 = 15$

$32x - 9 = 15$

Перенесем слагаемое -9 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$32x = 15 + 9$

$32x = 24$

Разделим обе части уравнения на 32, чтобы найти $x$:

$x = \frac{24}{32}$

Сократим полученную дробь на 8:

$x = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

194. Докажите, что значение выражения $2^{14} - 2^{12} - 2^{10}$ делится нацело на 11.

Для доказательства того, что значение выражения $2^{14} - 2^{12} - 2^{10}$ делится нацело на 11, необходимо преобразовать данное выражение. Мы можем вынести за скобки общий множитель. В данном случае общим множителем является степень двойки с наименьшим показателем, то есть $2^{10}$.

Выполним вынесение за скобки:
$2^{14} - 2^{12} - 2^{10} = 2^{10} \cdot 2^{14-10} - 2^{10} \cdot 2^{12-10} - 2^{10} \cdot 1 = 2^{10}(2^4 - 2^2 - 1)$

Теперь вычислим значение выражения, получившегося в скобках:
$2^4 - 2^2 - 1 = 16 - 4 - 1 = 12 - 1 = 11$

Подставив полученный результат обратно, мы можем представить исходное выражение в виде произведения:
$2^{10} \cdot 11$

Так как один из множителей в этом произведении равен 11, то всё произведение делится на 11 нацело. Следовательно, значение выражения $2^{14} - 2^{12} - 2^{10}$ делится нацело на 11.

Ответ: было доказано, что значение выражения $2^{14} - 2^{12} - 2^{10}$ можно представить в виде $11 \cdot 2^{10}$, что подтверждает его делимость на 11.

195. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n$ делится нацело на 10.

Для доказательства утверждения преобразуем данное выражение. Сначала сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями степеней:

$3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n = (3^{n+2} + 3^n) - (2^{n+2} + 2^n)$

Теперь воспользуемся свойством степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$ и вынесем общий множитель за скобки в каждой из двух групп.

Для первой группы с основанием 3:

$3^{n+2} + 3^n = 3^n \cdot 3^2 + 3^n = 3^n(3^2 + 1) = 3^n(9 + 1) = 10 \cdot 3^n$

Для второй группы с основанием 2:

$2^{n+2} + 2^n = 2^n \cdot 2^2 + 2^n = 2^n(2^2 + 1) = 2^n(4 + 1) = 5 \cdot 2^n$

Подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$(3^{n+2} + 3^n) - (2^{n+2} + 2^n) = 10 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n$

Чтобы доказать делимость на 10, нужно показать, что каждый член выражения делится на 10. Первый член, $10 \cdot 3^n$, очевидно делится на 10. Рассмотрим второй член, $5 \cdot 2^n$.

Поскольку по условию $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Это значит, что мы можем выделить множитель 2 в члене $2^n$:

$2^n = 2 \cdot 2^{n-1}$

Тогда второй член выражения преобразуется к виду:

$5 \cdot 2^n = 5 \cdot (2 \cdot 2^{n-1}) = (5 \cdot 2) \cdot 2^{n-1} = 10 \cdot 2^{n-1}$

Таким образом, второй член также делится на 10.

Теперь все выражение можно представить в виде:

$10 \cdot 3^n - 10 \cdot 2^{n-1} = 10(3^n - 2^{n-1})$

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n-1$ является целым неотрицательным числом ($n-1 \ge 0$). Следовательно, $3^n$ и $2^{n-1}$ являются целыми числами, и их разность $(3^n - 2^{n-1})$ также является целым числом. Поскольку исходное выражение равно произведению 10 на целое число, оно делится нацело на 10 при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано. Исходное выражение было преобразовано к виду $10(3^n - 2^{n-1})$, который очевидно делится на 10 для любого натурального $n$.

196. На первом складе было картофеля в 3 раза больше, чем на втором. Когда с первого склада вывезли 400 кг картофеля, то на нём осталось картофеля в 2 раза меньше, чем было на втором. Сколько килограммов картофеля было на первом складе первоначально?

Для решения этой задачи составим уравнение.

Пусть $x$ — это первоначальное количество килограммов картофеля на втором складе.

Исходя из условия, что на первом складе было в 3 раза больше картофеля, чем на втором, первоначальное количество картофеля на первом складе составляет $3x$ кг.

После того как с первого склада вывезли 400 кг картофеля, на нем осталось $(3x - 400)$ кг.

В условии сказано, что это оставшееся количество в 2 раза меньше, чем было на втором складе. Математически это можно записать как $\frac{x}{2}$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для количества картофеля, оставшегося на первом складе, и составить уравнение: $$3x - 400 = \frac{x}{2}$$

Для решения уравнения умножим обе его части на 2, чтобы избавиться от знаменателя: $$2 \cdot (3x - 400) = 2 \cdot \frac{x}{2}$$ $$6x - 800 = x$$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую: $$6x - x = 800$$ $$5x = 800$$

Теперь найдем значение $x$: $$x = \frac{800}{5}$$ $$x = 160$$

Мы нашли, что на втором складе первоначально было 160 кг картофеля.

Вопрос задачи — найти, сколько килограммов картофеля было на первом складе первоначально. Это количество равно $3x$.

Вычислим это значение: $$3 \cdot 160 = 480 \text{ кг}$$

Ответ: 480 кг.

197. Кастрюля стоила на 510 р. меньше, чем сковорода. Во время распро-дажи кастрюля подешевела на 10 %, а сковорода – на 20 %, после че-го кастрюлю и сковороду вместе можно было приобрести за 1156 р.Какова первоначальная цена кастрюли и какова – сковороды?

Для решения данной задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ рублей — это первоначальная цена кастрюли, а $y$ рублей — первоначальная цена сковороды.

Из условия задачи известно, что кастрюля стоила на 510 рублей меньше, чем сковорода. Это можно записать в виде первого уравнения:
$x = y - 510$

Во время распродажи цена кастрюли снизилась на 10%, то есть её новая цена составила $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной. Новая цена кастрюли: $x - 0.1x = 0.9x$.
Цена сковороды снизилась на 20%, её новая цена составила $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной. Новая цена сковороды: $y - 0.2y = 0.8y$.

Сумма цен на оба товара во время распродажи составила 1156 рублей. Составим второе уравнение:
$0.9x + 0.8y = 1156$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:$$ \begin{cases} x = y - 510 \\ 0.9x + 0.8y = 1156 \end{cases} $$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе, чтобы решить систему:
$0.9(y - 510) + 0.8y = 1156$

Раскроем скобки и найдём значение $y$:
$0.9y - 0.9 \cdot 510 + 0.8y = 1156$
$0.9y - 459 + 0.8y = 1156$
$1.7y = 1156 + 459$
$1.7y = 1615$
$y = \frac{1615}{1.7}$
$y = 950$

Таким образом, первоначальная цена сковороды составляет 950 рублей.

Теперь найдем первоначальную цену кастрюли, подставив найденное значение $y$ в первое уравнение:
$x = 950 - 510$
$x = 440$

Следовательно, первоначальная цена кастрюли составляет 440 рублей.

Ответ: первоначальная цена кастрюли — 440 р., первоначальная цена сковороды — 950 р.

198. Из пункта $A$ в пункт $B$ автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а возвращался из пункта $B$ в пункт $A$ со скоростью 70 км/ч другой дорогой, которая на 15 км короче первой. На обратный путь автомобиль затратил на 30 мин меньше, чем на путь из пункта $A$ в пункт $B$. За какое время он доехал из пункта $A$ в пункт $B$?

Решение

Для решения задачи введем переменную. Пусть искомое время, за которое автомобиль доехал из пункта А в пункт В, равно $t$ часов.

Движение из пункта А в пункт В:

• Скорость: $v_1 = 60$ км/ч.
• Время: $t_1 = t$ ч.
• Расстояние: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 60t$ км.

Движение из пункта В в пункт А:

• Скорость: $v_2 = 70$ км/ч.
• Время: на 30 минут меньше, чем $t_1$. Переведем 30 минут в часы: $30 \text{ мин} = 0.5$ ч. Тогда $t_2 = t - 0.5$ ч.
• Расстояние: $S_2$. По условию, эта дорога на 15 км короче первой, то есть $S_2 = S_1 - 15$.

Мы также можем выразить расстояние $S_2$ через скорость и время для обратного пути: $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 70(t - 0.5)$ км.

Теперь у нас есть два выражения для расстояния $S_2$: $S_2 = S_1 - 15$ и $S_2 = 70(t - 0.5)$. Поскольку $S_1 = 60t$, мы можем составить уравнение, приравняв выражения для $S_2$: $S_1 - 15 = 70(t - 0.5)$ $60t - 15 = 70(t - 0.5)$

Решим это уравнение относительно $t$: $60t - 15 = 70t - 70 \cdot 0.5$ $60t - 15 = 70t - 35$ $35 - 15 = 70t - 60t$ $20 = 10t$ $t = \frac{20}{10}$ $t = 2$

Следовательно, время, за которое автомобиль доехал из пункта А в пункт В, составляет 2 часа.

Проверка:

• Время из А в В: $t_1 = 2$ часа.
• Расстояние из А в В: $S_1 = 60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 120$ км.
• Время из В в А: $t_2 = 2 \text{ ч} - 0.5 \text{ ч} = 1.5$ часа.
• Расстояние из В в А: $S_2 = 70 \text{ км/ч} \cdot 1.5 \text{ ч} = 105$ км.
• Разница в расстояниях: $S_1 - S_2 = 120 \text{ км} - 105 \text{ км} = 15$ км.

Все условия задачи выполняются.

Ответ: 2 часа.

199. Рабочий должен был изготовлять ежедневно 10 деталей. Однако он изготовлял ежедневно 12 деталей, и уже за два дня до окончания срока работы ему осталось изготовить 6 деталей. Сколько деталей должен был изготовить рабочий?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество дней, которое было запланировано на выполнение всей работы.

По плану рабочий должен был изготавливать по 10 деталей в день. Значит, общее количество деталей, которое ему нужно было сделать, равно $10 \cdot x$.

На самом деле рабочий изготавливал по 12 деталей в день. В условии сказано, что за 2 дня до окончания срока ему осталось изготовить 6 деталей. Это означает, что он работал на протяжении $x - 2$ дней.

За $x - 2$ дней он изготовил $12 \cdot (x - 2)$ деталей.

Общее количество деталей равно сумме уже изготовленных деталей и тех, что остались. То есть, общее количество деталей также равно $12 \cdot (x - 2) + 6$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для общего количества деталей и решить полученное уравнение:

$10x = 12(x - 2) + 6$

Раскрываем скобки в правой части уравнения:

$10x = 12x - 24 + 6$

Упрощаем правую часть:

$10x = 12x - 18$

Переносим слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$18 = 12x - 10x$

$18 = 2x$

$x = \frac{18}{2}$

$x = 9$

Мы нашли, что плановый срок выполнения работы составлял 9 дней.

Теперь ответим на главный вопрос задачи: сколько всего деталей должен был изготовить рабочий? Для этого умножим плановое количество дней на плановую дневную норму.

Всего деталей = $10 \cdot x = 10 \cdot 9 = 90$ деталей.

Проверка:
Плановый срок – 9 дней, всего деталей – 90.
Рабочий работал $9 - 2 = 7$ дней.
За 7 дней он изготовил $7 \cdot 12 = 84$ детали.
Осталось изготовить: $90 - 84 = 6$ деталей. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: рабочий должен был изготовить 90 деталей.

200. (Из русского фольклора.) За 30 монет купили 30 птиц. Сколько купили птиц каждого вида, если за трёх воробьёв платили одну монету, за двух голубей — тоже одну монету, а за одну горлицу — две монеты, при этом купили хотя бы одну птичку каждого вида?

Для решения этой задачи введем переменные: пусть $x$ — количество купленных воробьёв, $y$ — количество купленных голубей, а $z$ — количество купленных горлиц.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений. Первое уравнение — общее количество птиц, которых всего 30:

$x + y + z = 30$

Теперь определим стоимость каждой птицы. Цена одного воробья составляет $\frac{1}{3}$ монеты (так как за трёх платили одну монету). Цена одного голубя — $\frac{1}{2}$ монеты (так как за двух платили одну монету). Цена одной горлицы — 2 монеты. Второе уравнение — общая стоимость всех птиц, которая равна 30 монетам:

$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y + 2z = 30$

Для удобства вычислений избавимся от дробей во втором уравнении, умножив все его члены на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2):

$6 \cdot (\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y + 2z) = 6 \cdot 30$

$2x + 3y + 12z = 180$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с тремя неизвестными:

$x + y + z = 30$

$2x + 3y + 12z = 180$

Также, по условию, было куплено хотя бы по одной птичке каждого вида, поэтому $x$, $y$, и $z$ должны быть натуральными числами ($x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$).

Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 30 - y - z$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$2(30 - y - z) + 3y + 12z = 180$

$60 - 2y - 2z + 3y + 12z = 180$

Приведем подобные члены:

$y + 10z = 180 - 60$

$y + 10z = 120$

Теперь выразим $y$ через $z$:

$y = 120 - 10z$

Далее подставим полученное выражение для $y$ в формулу для $x$:

$x = 30 - (120 - 10z) - z$

$x = 30 - 120 + 10z - z$

$x = 9z - 90$

Теперь воспользуемся ограничениями, что $x$, $y$ и $z$ — натуральные числа. Из условия $x \ge 1$ следует:

$9z - 90 \ge 1 \implies 9z \ge 91 \implies z \ge \frac{91}{9} \approx 10.11$

Из условия $y \ge 1$ следует:

$120 - 10z \ge 1 \implies 119 \ge 10z \implies z \le 11.9$

Мы получили два неравенства для целого числа $z$: $z \ge 10.11$ и $z \le 11.9$. Единственное целое число, удовлетворяющее этим условиям, — это $z = 11$.

Теперь, зная $z$, найдем $x$ и $y$:

$x = 9z - 90 = 9(11) - 90 = 99 - 90 = 9$

$y = 120 - 10z = 120 - 10(11) = 120 - 110 = 10$

Итак, мы получили, что было куплено 9 воробьёв, 10 голубей и 11 горлиц.

Проверим полученное решение. Общее количество птиц: $9 + 10 + 11 = 30$. Общая стоимость: $9 \cdot (\frac{1}{3}) + 10 \cdot (\frac{1}{2}) + 11 \cdot 2 = 3 + 5 + 22 = 30$ монет. Все условия задачи выполнены.

Ответ: было куплено 9 воробьёв, 10 голубей и 11 горлиц.

201. Решите уравнение:

1) $\frac{2x+7}{4} = \frac{x+5}{3}$;

2) $x^2 + 6x = 0$;

3) $0,21x - 0,7x^2 = 0$;

4) $x^2 - 16 = 0$;

5) $25x^2 - 36 = 0$;

6) $x^2 + 4 = 0$.

1)

Дано уравнение-пропорция: $\frac{2x + 7}{4} = \frac{x + 5}{3}$.

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся основным свойством пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов:

$3 \cdot (2x + 7) = 4 \cdot (x + 5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$6x + 21 = 4x + 20$

Теперь соберем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левой части уравнения, а числовые значения — в правой. При переносе слагаемых из одной части в другую меняем их знак на противоположный:

$6x - 4x = 20 - 21$

Приведем подобные слагаемые:

$2x = -1$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = -\frac{1}{2}$ или $x = -0.5$

Ответ: $-0.5$.

2)

Дано неполное квадратное уравнение: $x^2 + 6x = 0$.

Для решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 6) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$

или

$x + 6 = 0$

Решаем второе простое уравнение:

$x = -6$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; -6$.

3)

Дано неполное квадратное уравнение: $0.21x - 0.7x^2 = 0$.

Вынесем за скобки общий множитель $x$:

$x(0.21 - 0.7x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $0.21 - 0.7x = 0$

Решим второе уравнение:

$0.7x = 0.21$

$x_2 = \frac{0.21}{0.7} = \frac{21}{70} = \frac{3}{10} = 0.3$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 0.3$.

4)

Дано неполное квадратное уравнение: $x^2 - 16 = 0$.

Способ 1: Изолирование $x^2$.

Перенесем постоянный член 16 в правую часть уравнения:

$x^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Важно помнить, что корень имеет два значения — положительное и отрицательное:

$x = \pm\sqrt{16}$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Способ 2: Разность квадратов.

Можно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$x^2 - 4^2 = 0$

$(x - 4)(x + 4) = 0$

Это дает те же корни: $x - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4$ и $x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$.

Ответ: $4; -4$.

5)

Дано неполное квадратное уравнение: $25x^2 - 36 = 0$.

Перенесем свободный член 36 в правую часть уравнения:

$25x^2 = 36$

Разделим обе части на коэффициент при $x^2$, то есть на 25:

$x^2 = \frac{36}{25}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{36}{25}}$

$x = \pm\frac{6}{5}$

Переведем обыкновенные дроби в десятичные:

$x_1 = \frac{6}{5} = 1.2$, $x_2 = -\frac{6}{5} = -1.2$

Ответ: $1.2; -1.2$.

6)

Дано уравнение: $x^2 + 4 = 0$.

Перенесем свободный член 4 в правую часть уравнения:

$x^2 = -4$

В множестве действительных чисел квадрат любого числа ($x^2$) всегда является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$.

Поскольку левая часть уравнения ($x^2$) не может быть отрицательной, а правая часть (-4) отрицательна, данное равенство невозможно для любого действительного числа $x$.

Следовательно, уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: нет действительных корней.