Страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

173. В двух бидонах находится 80 л молока. Если из одного бидона перелить 20 % молока в другой бидон, то в обоих бидонах молока станет поровну. Сколько литров молока было в каждом бидоне первоначально?

Обозначим количество молока в первом бидоне как $x$ литров, а во втором бидоне — как $y$ литров.Согласно условию задачи, общее количество молока в двух бидонах составляет 80 литров. Мы можем записать это в виде уравнения:

$x + y = 80$

Далее, из одного бидона переливают 20% молока в другой. После этого количество молока в обоих бидонах становится равным. Так как общее количество молока не изменилось, то в каждом бидоне стало поровну, то есть:

$80 \div 2 = 40$ литров.

Предположим, что молоко переливали из первого бидона (в котором изначально было больше молока) во второй. Количество молока в первом бидоне уменьшилось на 20%. Это значит, что в нем осталось $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначального объема.

Таким образом, 80% от первоначального количества молока в первом бидоне ($x$) составляет 40 литров. Запишем это в виде уравнения:

$x \cdot 0.8 = 40$

Теперь найдем первоначальное количество молока в первом бидоне:

$x = 40 \div 0.8$

$x = 50$ литров.

Зная, что в первом бидоне было 50 литров, мы можем найти, сколько молока было во втором бидоне, используя первое уравнение:

$y = 80 - x$

$y = 80 - 50$

$y = 30$ литров.

Проверим решение. Изначально в бидонах было 50 л и 30 л.Из первого бидона перелили 20% молока:

$50 \cdot 0.20 = 10$ литров.

В первом бидоне осталось:

$50 - 10 = 40$ литров.

Во второй бидон добавили 10 литров:

$30 + 10 = 40$ литров.

Количество молока в бидонах стало равным, что соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в одном бидоне было 50 литров молока, а в другом — 30 литров.

174. (Из учебника «Арифметика» Л. Ф. Магницкого1.) Двенадцать людей несут 12 хлебов. Каждый мужчина несёт по 2 хлеба, женщина — по $1/2$ хлеба, а ребёнок — по $1/4$ хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Для решения этой старинной задачи введем переменные. Пусть:

• $м$ – количество мужчин,
• $ж$ – количество женщин,
• $д$ – количество детей.

По условию задачи мы знаем, что всего было 12 человек и они несли 12 хлебов. Это позволяет нам составить систему из двух уравнений:

1. Уравнение по количеству людей:
$м + ж + д = 12$

2. Уравнение по количеству хлеба:
$2м + \frac{1}{2}ж + \frac{1}{4}д = 12$

Поскольку количество людей может быть только целым и неотрицательным числом, мы будем искать решение в целых числах.

Решение

Сначала упростим второе уравнение, умножив все его части на 4, чтобы избавиться от дробей:

$4 \cdot (2м + \frac{1}{2}ж + \frac{1}{4}д) = 4 \cdot 12$

$8м + 2ж + д = 48$

Теперь наша система уравнений выглядит так:

$\begin{cases} м + ж + д = 12 \\ 8м + 2ж + д = 48 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную $д$:

$(8м + 2ж + д) - (м + ж + д) = 48 - 12$

$7м + ж = 36$

Выразим $ж$ через $м$:

$ж = 36 - 7м$

Так как количество женщин $ж$ не может быть отрицательным ($ж \ge 0$), то $36 - 7м \ge 0$. Отсюда следует, что $7м \le 36$, а значит $м \le \frac{36}{7}$, то есть $м \le 5.14...$.

Поскольку $м$ — это целое неотрицательное число, возможные значения для $м$: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Проверим каждое из них:

• Если $м = 0$, то $ж = 36 - 7 \cdot 0 = 36$. Тогда $д = 12 - 0 - 36 = -24$. Это невозможно.
• Если $м = 1$, то $ж = 36 - 7 \cdot 1 = 29$. Тогда $д = 12 - 1 - 29 = -18$. Это невозможно.
• Если $м = 2$, то $ж = 36 - 7 \cdot 2 = 22$. Тогда $д = 12 - 2 - 22 = -12$. Это невозможно.
• Если $м = 3$, то $ж = 36 - 7 \cdot 3 = 15$. Тогда $д = 12 - 3 - 15 = -6$. Это невозможно.
• Если $м = 4$, то $ж = 36 - 7 \cdot 4 = 8$. Тогда $д = 12 - 4 - 8 = 0$. Это математически верное решение (4 мужчины, 8 женщин и 0 детей), но в контексте подобных старинных задач обычно подразумевается, что все упомянутые группы (включая детей) присутствуют.
• Если $м = 5$, то $ж = 36 - 7 \cdot 5 = 1$. Тогда $д = 12 - 5 - 1 = 6$. Все числа целые и положительные.

Таким образом, наиболее подходящее решение, соответствующее духу задачи, — это 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей. Проверим его:

Проверка количества людей: $5 + 1 + 6 = 12$. Верно.

Проверка количества хлеба: $5 \cdot 2 + 1 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{4} = 10 + 0.5 + 1.5 = 12$. Верно.

Ответ: было 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей.

175. Вася и Петя по очереди заменяют в уравнении $x^4 + *x^3 + *x^2 + *x + * = 0$ один знак * на некоторое число. Первым замену делает Вася. Петя хочет получить уравнение, которое имеет корень. Может ли Вася ему помешать?

Нет, Вася не может помешать Пете. У Пети есть выигрышная стратегия, которая гарантирует, что итоговое уравнение будет иметь хотя бы один корень, независимо от ходов Васи.

Рассмотрим уравнение, которое в итоге должно получиться: $P(x) = x^4 + c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0 = 0$. В этой игре Вася и Петя по очереди определяют значения четырех коэффициентов: $c_3, c_2, c_1, c_0$. Вася ходит первым и третьим, а Петя — вторым и четвертым. Цель Пети — добиться, чтобы у получившегося уравнения был хотя бы один действительный корень. Цель Васи — помешать этому, то есть сделать так, чтобы у уравнения не было действительных корней.

Выигрышная стратегия Пети состоит в том, чтобы обеспечить наличие у уравнения корня $x=1$. Как известно, число $x=1$ является корнем многочлена тогда и только тогда, когда сумма всех его коэффициентов равна нулю. Для многочлена $P(x)$ сумма коэффициентов равна: $S = 1 + c_3 + c_2 + c_1 + c_0$ Таким образом, Петя должен сделать так, чтобы в итоге получилось $S=0$, что эквивалентно условию: $c_3 + c_2 + c_1 + c_0 = -1$

Покажем, почему Петя всегда может этого добиться. В игре всего четыре хода для определения четырех коэффициентов. Вася делает первый и третий ход, а Петя — второй и, что самое важное, четвертый (последний) ход.

Пусть Вася на своем первом ходу выбирает некоторый коэффициент и присваивает ему значение. Затем Петя на своем втором ходу делает то же самое. После этого Вася делает свой второй (и последний) ход, определяя третий коэффициент. К началу четвертого хода три из четырех коэффициентов ($c_3, c_2, c_1, c_0$) уже определены, и их значения не могут быть изменены. Обозначим уже выбранные на первых трех ходах коэффициенты и их значения как $k_a=v_a, k_b=v_b, k_c=v_c$. Пусть последний неопределенный коэффициент — $k_d$.

Наступает четвертый ход, который делает Петя. Ему нужно выбрать значение для последнего оставшегося коэффициента $k_d$ так, чтобы сумма всех четырех коэффициентов была равна -1. То есть, должно выполняться равенство: $v_a + v_b + v_c + k_d = -1$ Из этого уравнения Петя может однозначно определить требуемое значение для $k_d$: $k_d = -1 - v_a - v_b - v_c$

Поскольку $v_a, v_b, v_c$ — это просто числа, выбранные на предыдущих ходах, Петя всегда может вычислить значение $k_d$ и сделать свой ход. Этот ход гарантирует, что сумма коэффициентов итогового многочлена будет равна $1 + (v_a+v_b+v_c+k_d) = 1 + (-1) = 0$. Следовательно, $P(1)=0$, и уравнение будет иметь корень $x=1$.

Таким образом, поскольку Петя делает последний ход, он имеет полный контроль над суммой коэффициентов и всегда может обеспечить выполнение условия $P(1)=0$. Стратегия Васи не имеет значения: какие бы коэффициенты и значения он ни выбирал, он не сможет помешать Пете реализовать свой план на последнем ходу.

Ответ: Нет, Вася не может помешать Пете.