Номер 175, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 175, страница 41.

Условие.

175. Вася и Петя по очереди заменяют в уравнении $x^4 + *x^3 + *x^2 + *x + * = 0$ один знак * на некоторое число. Первым замену делает Вася. Петя хочет получить уравнение, которое имеет корень. Может ли Вася ему помешать?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Нет, Вася не может помешать Пете. У Пети есть выигрышная стратегия, которая гарантирует, что итоговое уравнение будет иметь хотя бы один корень, независимо от ходов Васи.

Рассмотрим уравнение, которое в итоге должно получиться: $P(x) = x^4 + c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0 = 0$. В этой игре Вася и Петя по очереди определяют значения четырех коэффициентов: $c_3, c_2, c_1, c_0$. Вася ходит первым и третьим, а Петя — вторым и четвертым. Цель Пети — добиться, чтобы у получившегося уравнения был хотя бы один действительный корень. Цель Васи — помешать этому, то есть сделать так, чтобы у уравнения не было действительных корней.

Выигрышная стратегия Пети состоит в том, чтобы обеспечить наличие у уравнения корня $x=1$. Как известно, число $x=1$ является корнем многочлена тогда и только тогда, когда сумма всех его коэффициентов равна нулю. Для многочлена $P(x)$ сумма коэффициентов равна: $S = 1 + c_3 + c_2 + c_1 + c_0$ Таким образом, Петя должен сделать так, чтобы в итоге получилось $S=0$, что эквивалентно условию: $c_3 + c_2 + c_1 + c_0 = -1$

Покажем, почему Петя всегда может этого добиться. В игре всего четыре хода для определения четырех коэффициентов. Вася делает первый и третий ход, а Петя — второй и, что самое важное, четвертый (последний) ход.

Пусть Вася на своем первом ходу выбирает некоторый коэффициент и присваивает ему значение. Затем Петя на своем втором ходу делает то же самое. После этого Вася делает свой второй (и последний) ход, определяя третий коэффициент. К началу четвертого хода три из четырех коэффициентов ($c_3, c_2, c_1, c_0$) уже определены, и их значения не могут быть изменены. Обозначим уже выбранные на первых трех ходах коэффициенты и их значения как $k_a=v_a, k_b=v_b, k_c=v_c$. Пусть последний неопределенный коэффициент — $k_d$.

Наступает четвертый ход, который делает Петя. Ему нужно выбрать значение для последнего оставшегося коэффициента $k_d$ так, чтобы сумма всех четырех коэффициентов была равна -1. То есть, должно выполняться равенство: $v_a + v_b + v_c + k_d = -1$ Из этого уравнения Петя может однозначно определить требуемое значение для $k_d$: $k_d = -1 - v_a - v_b - v_c$

Поскольку $v_a, v_b, v_c$ — это просто числа, выбранные на предыдущих ходах, Петя всегда может вычислить значение $k_d$ и сделать свой ход. Этот ход гарантирует, что сумма коэффициентов итогового многочлена будет равна $1 + (v_a+v_b+v_c+k_d) = 1 + (-1) = 0$. Следовательно, $P(1)=0$, и уравнение будет иметь корень $x=1$.

Таким образом, поскольку Петя делает последний ход, он имеет полный контроль над суммой коэффициентов и всегда может обеспечить выполнение условия $P(1)=0$. Стратегия Васи не имеет значения: какие бы коэффициенты и значения он ни выбирал, он не сможет помешать Пете реализовать свой план на последнем ходу.

Ответ: Нет, Вася не может помешать Пете.