Номер 180, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Упражнения - номер 180, страница 44.

Условие.

180. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{15}{x - 7} - x - 7\right) \cdot \frac{7 - x}{x^2 - 16x + 64};$

2) $\left(a - \frac{5a - 16}{a - 3}\right) : \left(2a - \frac{2a}{a - 3}\right);$

3) $\left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{a}{b^2}\right) \cdot \frac{ab}{a^2 - b^2} + \frac{2}{b - a};$

4) $\left(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1} - \frac{a^2 + 1}{1 - a^2}\right) : \frac{a^2 + a}{(a - 1)^2};$

5) $\left(\frac{x + 2y}{x - 2y} - \frac{x - 2y}{x + 2y} - \frac{16y^2}{x^2 - 4y^2}\right) : \frac{4y}{x + 2y};$

6) $\left(\frac{3a - 8}{a^2 - 2a + 4} + \frac{1}{a + 2} - \frac{4a - 28}{a^3 + 8}\right) \cdot \frac{a^2 - 4}{4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $x-7$:
$(\frac{15}{x-7} - x - 7) = \frac{15 - x(x-7) - 7(x-7)}{x-7} = \frac{15 - x^2 + 7x - 7x + 49}{x-7} = \frac{64 - x^2}{x-7}$.
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя:
$\frac{64 - x^2}{x-7} = \frac{(8-x)(8+x)}{x-7}$.
Теперь упростим вторую дробь. Знаменатель $x^2 - 16x + 64$ является полным квадратом $(x-8)^2$. Числитель $7-x$ можно записать как $-(x-7)$:
$\frac{7-x}{x^2-16x+64} = \frac{-(x-7)}{(x-8)^2}$.
Теперь перемножим полученные выражения. Заметим, что $8-x = -(x-8)$:
$\frac{(8-x)(8+x)}{x-7} \cdot \frac{-(x-7)}{(x-8)^2} = \frac{-(x-8)(x+8)}{x-7} \cdot \frac{-(x-7)}{(x-8)^2}$.
Произведение двух отрицательных выражений положительно. Сокращаем дроби:
$\frac{(x-8)(x+8)(x-7)}{(x-7)(x-8)^2} = \frac{x+8}{x-8}$.
Ответ: $\frac{x+8}{x-8}$.

2) Упростим поочередно выражения в каждой из скобок.
Первая скобка:
$a - \frac{5a-16}{a-3} = \frac{a(a-3) - (5a-16)}{a-3} = \frac{a^2-3a-5a+16}{a-3} = \frac{a^2-8a+16}{a-3} = \frac{(a-4)^2}{a-3}$.
Вторая скобка:
$2a - \frac{2a}{a-3} = \frac{2a(a-3) - 2a}{a-3} = \frac{2a^2-6a-2a}{a-3} = \frac{2a^2-8a}{a-3} = \frac{2a(a-4)}{a-3}$.
Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{(a-4)^2}{a-3} : \frac{2a(a-4)}{a-3} = \frac{(a-4)^2}{a-3} \cdot \frac{a-3}{2a(a-4)}$.
Сокращаем общие множители $(a-3)$ и $(a-4)$:
$\frac{a-4}{2a}$.
Ответ: $\frac{a-4}{2a}$.

3) Выполним действия по порядку. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab^2$:
$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{a}{b^2} = \frac{b^2}{ab^2} + \frac{2ab}{ab^2} + \frac{a^2}{ab^2} = \frac{a^2+2ab+b^2}{ab^2} = \frac{(a+b)^2}{ab^2}$.
Теперь выполним умножение. Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(a+b)^2}{ab^2} \cdot \frac{ab}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)^2}{ab^2} \cdot \frac{ab}{(a-b)(a+b)}$.
Сокращаем общие множители:
$\frac{a+b}{b(a-b)}$.
Теперь выполним сложение. Заметим, что $b-a = -(a-b)$:
$\frac{a+b}{b(a-b)} + \frac{2}{b-a} = \frac{a+b}{b(a-b)} - \frac{2}{a-b}$.
Приводим к общему знаменателю $b(a-b)$:
$\frac{a+b}{b(a-b)} - \frac{2b}{b(a-b)} = \frac{a+b-2b}{b(a-b)} = \frac{a-b}{b(a-b)}$.
Сокращаем $(a-b)$:
$\frac{1}{b}$.
Ответ: $\frac{1}{b}$.

4) Упростим выражение в скобках. Заметим, что $1-a^2 = -(a^2-1) = -(a-1)(a+1)$. Общий знаменатель будет $(a-1)(a+1)$:
$\frac{a}{a-1} - \frac{a}{a+1} - \frac{a^2+1}{1-a^2} = \frac{a}{a-1} - \frac{a}{a+1} + \frac{a^2+1}{(a-1)(a+1)}$.
Приводим к общему знаменателю:
$\frac{a(a+1) - a(a-1) + a^2+1}{(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+a - (a^2-a) + a^2+1}{a^2-1} = \frac{a^2+a - a^2+a + a^2+1}{a^2-1} = \frac{a^2+2a+1}{a^2-1}$.
Числитель является полным квадратом $(a+1)^2$, а знаменатель - разностью квадратов $(a-1)(a+1)$:
$\frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)} = \frac{a+1}{a-1}$.
Теперь выполним деление. Упростим делитель: $\frac{a^2+a}{(a-1)^2} = \frac{a(a+1)}{(a-1)^2}$.
$(\frac{a+1}{a-1}) : (\frac{a(a+1)}{(a-1)^2}) = \frac{a+1}{a-1} \cdot \frac{(a-1)^2}{a(a+1)}$.
Сокращаем общие множители $(a+1)$ и $(a-1)$:
$\frac{a-1}{a}$.
Ответ: $\frac{a-1}{a}$.

5) Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $x^2-4y^2 = (x-2y)(x+2y)$:
$\frac{x+2y}{x-2y} - \frac{x-2y}{x+2y} - \frac{16y^2}{x^2-4y^2} = \frac{(x+2y)^2}{(x-2y)(x+2y)} - \frac{(x-2y)^2}{(x-2y)(x+2y)} - \frac{16y^2}{(x-2y)(x+2y)}$.
Объединяем дроби:
$\frac{(x+2y)^2 - (x-2y)^2 - 16y^2}{x^2-4y^2}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{(x^2+4xy+4y^2) - (x^2-4xy+4y^2) - 16y^2}{x^2-4y^2} = \frac{x^2+4xy+4y^2 - x^2+4xy-4y^2 - 16y^2}{x^2-4y^2}$.
Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{8xy - 16y^2}{x^2-4y^2} = \frac{8y(x-2y)}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{8y}{x+2y}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{8y}{x+2y} : \frac{4y}{x+2y} = \frac{8y}{x+2y} \cdot \frac{x+2y}{4y}$.
Сокращаем общие множители:
$2$.
Ответ: $2$.

6) Упростим выражение в скобках. Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Тогда $a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$. Это и будет общий знаменатель.
$\frac{3a-8}{a^2-2a+4} + \frac{1}{a+2} - \frac{4a-28}{a^3+8} = \frac{(3a-8)(a+2)}{a^3+8} + \frac{a^2-2a+4}{a^3+8} - \frac{4a-28}{a^3+8}$.
Объединим числители:
$\frac{(3a^2+6a-8a-16) + (a^2-2a+4) - (4a-28)}{a^3+8}$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{3a^2-2a-16 + a^2-2a+4 - 4a+28}{a^3+8} = \frac{4a^2-8a+16}{a^3+8}$.
Вынесем общий множитель 4 в числителе:
$\frac{4(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{4}{a+2}$.
Теперь выполним умножение. Используем формулу разности квадратов $a^2-4 = (a-2)(a+2)$:
$\frac{4}{a+2} \cdot \frac{a^2-4}{4} = \frac{4}{a+2} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{4}$.
Сокращаем общие множители $4$ и $(a+2)$:
$a-2$.
Ответ: $a-2$.