Номер 186, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Упражнения - номер 186, страница 46.

Условие.

186. Упростите выражение:

1) $\frac{a - \frac{a^2}{a+1}}{a - \frac{a}{a+1}};$

2) $\frac{a - \frac{6a - 9}{a}}{1 - \frac{3}{a}};$

3) $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{a}}};$

4) $\frac{\frac{2a - b}{b} + 1}{\frac{2a + b}{b} - 1} + \frac{3 - \frac{b}{a}}{\frac{3a}{b} - 1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения данного выражения выполним преобразования по действиям. Сначала приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе основной дроби.
1. Упростим числитель: $a - \frac{a^2}{a+1} = \frac{a(a+1)}{a+1} - \frac{a^2}{a+1} = \frac{a^2 + a - a^2}{a+1} = \frac{a}{a+1}$.
2. Упростим знаменатель: $a - \frac{a}{a+1} = \frac{a(a+1)}{a+1} - \frac{a}{a+1} = \frac{a^2 + a - a}{a+1} = \frac{a^2}{a+1}$.
3. Теперь разделим полученный числитель на полученный знаменатель. Деление дробей заменяется умножением на перевернутую дробь:
$\frac{\frac{a}{a+1}}{\frac{a^2}{a+1}} = \frac{a}{a+1} \cdot \frac{a+1}{a^2} = \frac{a(a+1)}{(a+1)a^2} = \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a}$.
Ответ: $\frac{1}{a}$.

2) Упростим это выражение, также начав с преобразования числителя и знаменателя.
1. Числитель: $a - \frac{6a - 9}{a} = \frac{a \cdot a}{a} - \frac{6a - 9}{a} = \frac{a^2 - (6a - 9)}{a} = \frac{a^2 - 6a + 9}{a}$. Заметим, что в числителе получился полный квадрат разности: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = (a-3)^2$. Таким образом, числитель равен $\frac{(a-3)^2}{a}$.
2. Знаменатель: $1 - \frac{3}{a} = \frac{a}{a} - \frac{3}{a} = \frac{a-3}{a}$.
3. Выполним деление: $\frac{\frac{(a-3)^2}{a}}{\frac{a-3}{a}} = \frac{(a-3)^2}{a} \cdot \frac{a}{a-3} = \frac{(a-3)^2 \cdot a}{a \cdot (a-3)} = a-3$.
Ответ: $a-3$.

3) Для упрощения многоэтажной дроби будем двигаться снизу вверх, последовательно выполняя действия.
1. Самое нижнее выражение: $1 + \frac{1}{a} = \frac{a}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a+1}{a}$.
2. Подставим результат в дробь более высокого уровня: $1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{a}} = 1 - \frac{1}{\frac{a+1}{a}} = 1 - \frac{a}{a+1}$. Теперь приведем к общему знаменателю: $1 - \frac{a}{a+1} = \frac{a+1}{a+1} - \frac{a}{a+1} = \frac{a+1-a}{a+1} = \frac{1}{a+1}$.
3. Исходное выражение теперь имеет вид: $\frac{1}{\frac{1}{a+1}}$. Это равно $1 \cdot \frac{a+1}{1} = a+1$.
Ответ: $a+1$.

4) Данное выражение является суммой двух сложных дробей. Упростим каждую из них по отдельности, а затем сложим результаты.
1. Упростим первое слагаемое $\frac{\frac{2a-b}{b} + 1}{\frac{2a+b}{b} - 1}$.
Числитель: $\frac{2a-b}{b} + 1 = \frac{2a-b}{b} + \frac{b}{b} = \frac{2a-b+b}{b} = \frac{2a}{b}$.
Знаменатель: $\frac{2a+b}{b} - 1 = \frac{2a+b}{b} - \frac{b}{b} = \frac{2a+b-b}{b} = \frac{2a}{b}$.
Тогда первое слагаемое равно: $\frac{\frac{2a}{b}}{\frac{2a}{b}} = 1$.
2. Упростим второе слагаемое $\frac{3 - \frac{b}{a}}{\frac{3a}{b} - 1}$.
Числитель: $3 - \frac{b}{a} = \frac{3a}{a} - \frac{b}{a} = \frac{3a-b}{a}$.
Знаменатель: $\frac{3a}{b} - 1 = \frac{3a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{3a-b}{b}$.
Тогда второе слагаемое равно: $\frac{\frac{3a-b}{a}}{\frac{3a-b}{b}} = \frac{3a-b}{a} \cdot \frac{b}{3a-b} = \frac{b}{a}$.
3. Сложим полученные результаты: $1 + \frac{b}{a}$.
Ответ: $1 + \frac{b}{a}$.