Номер 191, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Упражнения - номер 191, страница 46.

Условие.

191. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $\frac{b^2 + 9}{3b^2 - b^3} + \left(\frac{b + 3}{b - 3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{b - 3} + \frac{6}{9 - b^2} - \frac{3}{b^2 + 3b}\right)$ принимает положительные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы доказать, что данное выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной, мы сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) и затем упростим выражение.

Область допустимых значений определяется условием, что все знаменатели должны быть не равны нулю:

• $3b^2 - b^3 = b^2(3-b) \neq 0 \implies b \neq 0$ и $b \neq 3$.
• $b-3 \neq 0 \implies b \neq 3$.
• $9 - b^2 = (3-b)(3+b) \neq 0 \implies b \neq 3$ и $b \neq -3$.
• $b^2 + 3b = b(b+3) \neq 0 \implies b \neq 0$ и $b \neq -3$.

Следовательно, ОДЗ: $b \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 0, 3\}$.

Теперь упростим выражение, выполняя действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в больших скобках:

$\frac{1}{b-3} + \frac{6}{9-b^2} - \frac{3}{b^2+3b}$

Разложим знаменатели на множители: $9-b^2 = -(b-3)(b+3)$ и $b^2+3b = b(b+3)$. Подставим их в выражение:

$\frac{1}{b-3} - \frac{6}{(b-3)(b+3)} - \frac{3}{b(b+3)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $b(b-3)(b+3)$:

$\frac{1 \cdot b(b+3) - 6 \cdot b - 3 \cdot (b-3)}{b(b-3)(b+3)} = \frac{b^2+3b-6b-3b+9}{b(b-3)(b+3)} = \frac{b^2-6b+9}{b(b-3)(b+3)}$

Числитель является полным квадратом $(b-3)^2$, поэтому:

$\frac{(b-3)^2}{b(b-3)(b+3)} = \frac{b-3}{b(b+3)}$

Далее, умножим полученный результат на $\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2$:

$\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2 \cdot \frac{b-3}{b(b+3)} = \frac{(b+3)^2}{(b-3)^2} \cdot \frac{b-3}{b(b+3)}$

После сокращения на $(b+3)$ и $(b-3)$ (что возможно в рамках ОДЗ) получаем:

$\frac{b+3}{b(b-3)}$

На последнем шаге выполним сложение с первым слагаемым исходного выражения:

$\frac{b^2+9}{3b^2-b^3} + \frac{b+3}{b(b-3)} = \frac{b^2+9}{b^2(3-b)} + \frac{b+3}{b(b-3)}$

Вынесем минус из знаменателя первой дроби:

$-\frac{b^2+9}{b^2(b-3)} + \frac{b+3}{b(b-3)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $b^2(b-3)$:

$\frac{-(b^2+9) + b(b+3)}{b^2(b-3)} = \frac{-b^2-9+b^2+3b}{b^2(b-3)} = \frac{3b-9}{b^2(b-3)}$

Вынесем в числителе общий множитель 3 и сократим дробь:

$\frac{3(b-3)}{b^2(b-3)} = \frac{3}{b^2}$

В результате упрощения мы получили выражение $\frac{3}{b^2}$.

Согласно ОДЗ, переменная $b$ не равна нулю. Квадрат любого действительного числа, не равного нулю ($b^2$), является строго положительным числом. Числитель дроби равен 3, что также является положительным числом. Частное от деления положительного числа на положительное число всегда положительно.

Таким образом, мы доказали, что при всех допустимых значениях переменной $b$ выражение принимает положительные значения.

Ответ: После упрощения исходное выражение приводится к виду $\frac{3}{b^2}$. Поскольку для всех допустимых значений $b \neq 0$, то $b^2 > 0$. Следовательно, выражение $\frac{3}{b^2}$ всегда принимает положительные значения.