Номер 191, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2018 - 2022, розового цвета

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение, Вентана-граф

Год издания: 2018 - 2022

Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками

ISBN: 978-5-360-12162-6

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 8 классе

Упражнения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Глава 1. Рациональные выражения - номер 191, страница 46.

№191 (с. 46)
Условие. №191 (с. 46)
скриншот условия
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2018 - 2022, розового цвета, страница 46, номер 191, Условие

191. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $\frac{b^2 + 9}{3b^2 - b^3} + \left(\frac{b + 3}{b - 3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{b - 3} + \frac{6}{9 - b^2} - \frac{3}{b^2 + 3b}\right)$ принимает положительные значения.

Решение 1. №191 (с. 46)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2018 - 2022, розового цвета, страница 46, номер 191, Решение 1
Решение 2. №191 (с. 46)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2018 - 2022, розового цвета, страница 46, номер 191, Решение 2
Решение 3. №191 (с. 46)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2018 - 2022, розового цвета, страница 46, номер 191, Решение 3
Решение 4. №191 (с. 46)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2018 - 2022, розового цвета, страница 46, номер 191, Решение 4
Решение 5. №191 (с. 46)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2018 - 2022, розового цвета, страница 46, номер 191, Решение 5
Решение 6. №191 (с. 46)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2018 - 2022, розового цвета, страница 46, номер 191, Решение 6
Решение 7. №191 (с. 46)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2018 - 2022, розового цвета, страница 46, номер 191, Решение 7
Решение 8. №191 (с. 46)

Чтобы доказать, что данное выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной, мы сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) и затем упростим выражение.

Область допустимых значений определяется условием, что все знаменатели должны быть не равны нулю:

  • $3b^2 - b^3 = b^2(3-b) \neq 0 \implies b \neq 0$ и $b \neq 3$.
  • $b-3 \neq 0 \implies b \neq 3$.
  • $9 - b^2 = (3-b)(3+b) \neq 0 \implies b \neq 3$ и $b \neq -3$.
  • $b^2 + 3b = b(b+3) \neq 0 \implies b \neq 0$ и $b \neq -3$.

Следовательно, ОДЗ: $b \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 0, 3\}$.

Теперь упростим выражение, выполняя действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в больших скобках:

$\frac{1}{b-3} + \frac{6}{9-b^2} - \frac{3}{b^2+3b}$

Разложим знаменатели на множители: $9-b^2 = -(b-3)(b+3)$ и $b^2+3b = b(b+3)$. Подставим их в выражение:

$\frac{1}{b-3} - \frac{6}{(b-3)(b+3)} - \frac{3}{b(b+3)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $b(b-3)(b+3)$:

$\frac{1 \cdot b(b+3) - 6 \cdot b - 3 \cdot (b-3)}{b(b-3)(b+3)} = \frac{b^2+3b-6b-3b+9}{b(b-3)(b+3)} = \frac{b^2-6b+9}{b(b-3)(b+3)}$

Числитель является полным квадратом $(b-3)^2$, поэтому:

$\frac{(b-3)^2}{b(b-3)(b+3)} = \frac{b-3}{b(b+3)}$

Далее, умножим полученный результат на $\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2$:

$\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2 \cdot \frac{b-3}{b(b+3)} = \frac{(b+3)^2}{(b-3)^2} \cdot \frac{b-3}{b(b+3)}$

После сокращения на $(b+3)$ и $(b-3)$ (что возможно в рамках ОДЗ) получаем:

$\frac{b+3}{b(b-3)}$

На последнем шаге выполним сложение с первым слагаемым исходного выражения:

$\frac{b^2+9}{3b^2-b^3} + \frac{b+3}{b(b-3)} = \frac{b^2+9}{b^2(3-b)} + \frac{b+3}{b(b-3)}$

Вынесем минус из знаменателя первой дроби:

$-\frac{b^2+9}{b^2(b-3)} + \frac{b+3}{b(b-3)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $b^2(b-3)$:

$\frac{-(b^2+9) + b(b+3)}{b^2(b-3)} = \frac{-b^2-9+b^2+3b}{b^2(b-3)} = \frac{3b-9}{b^2(b-3)}$

Вынесем в числителе общий множитель 3 и сократим дробь:

$\frac{3(b-3)}{b^2(b-3)} = \frac{3}{b^2}$

В результате упрощения мы получили выражение $\frac{3}{b^2}$.

Согласно ОДЗ, переменная $b$ не равна нулю. Квадрат любого действительного числа, не равного нулю ($b^2$), является строго положительным числом. Числитель дроби равен 3, что также является положительным числом. Частное от деления положительного числа на положительное число всегда положительно.

Таким образом, мы доказали, что при всех допустимых значениях переменной $b$ выражение принимает положительные значения.

Ответ: После упрощения исходное выражение приводится к виду $\frac{3}{b^2}$. Поскольку для всех допустимых значений $b \neq 0$, то $b^2 > 0$. Следовательно, выражение $\frac{3}{b^2}$ всегда принимает положительные значения.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 191 расположенного на странице 46 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №191 (с. 46), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.