Номер 192, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Глава 1. Рациональные выражения - номер 192, страница 46.

Условие.

192. Подставьте вместо x данное выражение и упростите полученное выражение:

1) $\frac{x-a}{x-b}$, если $x=\frac{ab}{a+b}$;

2) $\frac{a-bx}{b+ax}$, если $x=\frac{a-b}{a+b}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Подставим значение $x = \frac{ab}{a+b}$ в выражение $\frac{x-a}{x-b}$:

$\frac{x-a}{x-b} = \frac{\frac{ab}{a+b} - a}{\frac{ab}{a+b} - b}$

Чтобы упростить это выражение, приведем к общему знаменателю числитель и знаменатель "многоэтажной" дроби.

Упростим числитель:

$\frac{ab}{a+b} - a = \frac{ab}{a+b} - \frac{a(a+b)}{a+b} = \frac{ab - a^2 - ab}{a+b} = \frac{-a^2}{a+b}$

Упростим знаменатель:

$\frac{ab}{a+b} - b = \frac{ab}{a+b} - \frac{b(a+b)}{a+b} = \frac{ab - ab - b^2}{a+b} = \frac{-b^2}{a+b}$

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{\frac{-a^2}{a+b}}{\frac{-b^2}{a+b}} = \frac{-a^2}{a+b} \cdot \frac{a+b}{-b^2}$

Сокращаем общий множитель $(a+b)$ и отрицательные знаки:

$\frac{a^2}{b^2}$

Ответ: $\frac{a^2}{b^2}$

2) Подставим значение $x = \frac{a-b}{a+b}$ в выражение $\frac{a-bx}{b+ax}$:

$\frac{a-bx}{b+ax} = \frac{a - b\left(\frac{a-b}{a+b}\right)}{b + a\left(\frac{a-b}{a+b}\right)} = \frac{a - \frac{b(a-b)}{a+b}}{b + \frac{a(a-b)}{a+b}}$

Приведем к общему знаменателю $(a+b)$ числитель и знаменатель полученной дроби.

Упростим числитель:

$a - \frac{b(a-b)}{a+b} = \frac{a(a+b) - b(a-b)}{a+b} = \frac{a^2+ab-ab+b^2}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{a+b}$

Упростим знаменатель:

$b + \frac{a(a-b)}{a+b} = \frac{b(a+b) + a(a-b)}{a+b} = \frac{ab+b^2+a^2-ab}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{a+b}$

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{\frac{a^2+b^2}{a+b}}{\frac{a^2+b^2}{a+b}}$

Мы делим выражение само на себя (при условии, что оно не равно нулю). Результат такого деления равен 1.

$\frac{a^2+b^2}{a+b} \cdot \frac{a+b}{a^2+b^2} = 1$

Ответ: $1$